On bent and hyper-bent functions

Abstract

Bent fonksiyonları olası en az doğrusallığa sahip olan Boole fonksiyonlardır, yani afin fonksiyonlar kümesine olası en fazla uzaklığa sahip olan fonksiyonlardır. Bu kavram ilk olarak 1976 yılında Rothaus tarafından ortaya atılmıştır. Bent fonksiyonlar, kriptolojik uygulamalardaki kullanımından ve ilginç kombinatorik özelliklerinden dolayı son 20 yıl içerisinde geniş ilgi çekmiştir. Buna rağmen bent fonksiyonlarının tamamı henüz sınıflandırılamamıştır ve bu mümkün gözükmemektedir. 2001 yılında Youssef ve Gong, bent fonksiyonlarının, hiper-bent adını verdikleri bir alt kümesinin çalışılmasını önerdiler. Bu alt kümenin inşaası, genelde bent fonksiyonların inşaasından daha zordur. Bu tezde, Kloosterman ve kübik toplamlar ile Dickson polinomları yoluyla elde edilen sonsuz elemana sahip bent ve hiper-bent fonksiyon sınıfları hakkında son yıllarda yapılan bazı çalışmaları inceleyeceğiz.

Bent functions are Boolean functions which have maximum possible nonlinearity i.e. maximal distance to the set of affine functions. They were introduced by Rothaus in 1976. In the last two decades, they have been studied widely due to their interesting combinatorial properties and their applications in cryptography. However the complete classification of bent functions has not been achieved yet. In 2001 Youssef and Gong introduced a subclass of bent functions which they called hyper-bent functions. The construction of hyper-bent functions is generally more difficult than the construction of bent functions. In this thesis we give a survey of recent constructions of infinite classes of bent and hyper-bent functions where the classification is obtained through the use of Kloosterman and cubic sums and Dickson polynomials.