On the asymptotic theory of towers of function fields over finite fields

Abstract

Bu tezde, herhangi bir sonlu cisim F_q üzerinde tanımlanan bir fonksiyon cisimleri kulesi F=(F_n)n?0 ve E :=E.F=(EF_n){n?0} dizisinin F_q üzerinde tanımlanmasını sağlayan herhangi bir sonlu genişleme E/F_0 ele alınmıştır. Bu F kulesinin değişmezlerinin (yani derecesi herhangi bir r?1 olan F'teki yerlerin asimptotik sayılarının) bilindiği varsıyılarak, E'nin değişmezleri üzerinde çalışılmıştır. Herhangi bir F_q üzerinde tanımlanan ve belirlenen sonlu sayıdaki değişmezi pozitif olan fonksiyon cisimleri kulelerinin inşa edilebilmesi için bir metod verilmiştir. Ayrıca, aynı metod kullanılarak, bazı q değerleri için, en az bir tane pozitif değişmezi ve bazı belirlenmiş değişmezleri sıfır olan kulelerinin inşa edilebileceği ispatlanmıstır. Bu metod, fonksiyon cisimlerinin acık genişlemelerine dayanmaktadır. Ayrıca, herhangi bir r?1 ve q öyle ki q^r bir kare olduğu durumlarda, F_q üzerinde tanımlanan ve r mertebeli Drinfeld-Vladut sınırına ulaşan fonksiyon cisimleri kulelerinin var olduğu gösterilmiştir. Son olarak, çeşitli değişmezleri pozitif olan veya sadece bir değişmezi pozitif olan bazı özyineli fonksiyon cisimleri kuleleri örnekleri verilmiştir.

In this thesis we consider a tower of function fields F = (F_n)n?0 over a finite field F_q and a finite extension E/F_0 such that the sequence E:=E.F=(EF_n)n?0 is a tower over the field F_q. Then we study invariants of E, that is, the asymptotic number of the places of degree r in E, for any r?1, if those of F are known. We give a method for constructing towers of function fields over any finite field F_q with finitely many prescribed invariants being positive. For certain q, we prove that with the same method one can also construct towers with at least one positive invariant and certain prescribed invariants being zero. Our method is based on explicit extensions of function fields. Moreover, we show the existence of towers over a finite field F_q attaining the Drinfeld-Vladut bound of order r, for any r?1 with q^r a square. Finally, we give some examples of recursive towers with various invariants being positive and towers with exactly one invariant being positive.