GLp.q (1/1) kuantum süper grubunun özellikleri

Abstract

ÖZET Bu çalışmada, GLPtq(l/l) kuantum süper grubunun özellikleri incelenmiştir. Bir T E GLPA(l//) süper matrisi gözönüne alınmış ve T nin matris elemanları arasında sağlanan bazı komutasyon bağıntılarını içeren lemmalar verilmiş ve ispatlanmıştır. T nin süper tersi ve süper determinantı, yeni bir yaklaşımla elde edilmiştir. Sonra, eğer T 6 GLPtq(l/l) ise Tn G GLvn^n{//l) olduğu açık olarak gösterilmiştir. Bu sonuç kullanılarak, bir T kuantum süper matrisi, matris elemanları komutatif olmayan başka bir M matrisinin üstel formu olarak yazılmış ve M nin matris elemanları, T nin matris elemanları cinsinden ifade edilmiştir. Böylece, M nin matris elemanlarının sağladığı {h/, ^-deforme komutasyon bağıntıları elde edilmiştir. T nin matris elemanlarını M nin matris elemanları cinsinden ifade etmek için ise, M nin re-inci kuvveti Mn nin matris elemanları açık olarak hesaplanmıştır. Bu arada, süper determinant ve süper iz arasında klasik ve ç-deforme durumda sağlanan bağıntının (p, ç)-deforme durumda da sağlandığı gösterilmiştir. Sonra, GL(11) süper grubunu (p, ç)-deforme eden bir i£-matrisi kullanıla rak, iki kuantum süper matrisin toplamının hangi şartlar altında bir kuantum süper matris olacağı araştırılmıştır. Ayrıca, bu kuantum i2-matrisi üstel form da ifade edilerek, M (üstel) matrisinin matris elemanları arasında sağlanan (hı, h<}) -komutasyon bağıntıları, yeni bulunan bir r-matrisi ile tekrar elde edil miştir. Elde edilen bu bağıntılar, daha önce elde edilen bağıntılara denktir. Son olarak, iki deformasyon parametreli kuantum özel lineer gruplar gözönü ne alınmış ve GLPyq{///) süper grubunun alt grubu olan üniter SUp>q(//l) süper grubundaki bir matrisin matris elemanları ile süper yaratma ve yok etme ope ratörleri (fiziksel olarak, (p, ç)-deforme süper osilatörler) arasında bir bire-bir tekabül olduğu gösterilmiştir.

THE PROPERTIES OF THE SUPERGROUP GLPiq(l/l) SUMMARY Quantum groups are not really groups, they are a generalization of the concept of classical groups. More precisely, a quantum group is a deformation of a group that, for particular values of the deformation parameter, coincides with the group. Quantum groups appeared first as quantum algebras, i.e. as one parameter deformations of the universal enveloping algebras of Lie algebras W- Other approaches to quantum groups, in which the objects may be called quantum matrix groups and Hopf algebras in duality to the quantum algebras, are developed in Ref.s [2-4]. The general framework of quantum groups aside, the special treatment of quantum groups in their basic matrix representation with non commuting en tries show very interesting properties. For the quantum group GLq(2) this was described in Ref.s 5 and 6 and also for GLPtq(2) in [7]. The simplest supergroup is the group 2x2 supermatrices with two even and two odd matrix elements, i.e. GL(1/1). Even matrix elements commute with everything and odd matrix elements anti-commute among themselves. The deformation of the supergroup of 2x2 matrices, i.e. the quantum supergroup GLg(l/l) can be found in [6,8,9]. Two parameter deformation of GL(1/1) was given in [10,11]. In this work, the properties of the quantum supergroup GLPtq(l/l) are studied. To achieve this, an element T of GLp>q(l/l) is considered and some lemmas claiming certain commutation relations between the matrix elements of T are proved. The super-inverse and super-determinant of T are com puted with a new approach. Besides it is proved that if T e GLp>q(l/l) then Tn G GLpn^{///) necessarily. Using this result an arbitrary quantum super VImatrix T is written as the exponential of another matrix M whose elements are not commutative and the elements of M are derived in terms of those of T. Therefore, (hi, /«^-deformed commutation relations satisfied between the ma trix elements of M are obtained. While computing the elements of T in terms of elements of M, the elements of Mn are computed. Also, it is shown that the relation, which is satisfied between the superdeterrninant and supertrace in the classic and ç-deformed cases, is satisfied in the (p, ş)-deformed case, too. Latter on, by means of using a matrix R which (p, q) deforms the supergroup GL(1/1); the conditions, under which the sum of two supermatrices is again a supermatrix, are studied. Also; a formula, giving the commutation relations between the elements of the exponential matrix M, is derived by expressing the quantum i?-matrix in exponential form. Finally, two- deformation parameter quantum special linear supergroups are studied and it is shown that there is a one-to-one correspondence between the elements of unitary supergroup SUPtg(l/l), which is a subgroup of the supergroup GLPtq(l/l) and the super creation and super annihilation operators. Vll