Polya`nın sayma teoremi`ne uygulamalar

Abstract

ÖZETPòlya'nın Sayma Formülü, birçok problemi çözmede etkili olacak önemli birformüldür. Bir diğer önemli yanı da matematiksel olarak Grup Teori ve ÜreteçFonksiyonlar'ı birleştiren güçlü bir formül olmasıdır.Birinci bölümde konumuzla bağlantısı olan üreteç fonksiyonlar hakkında bilgivereceğiz. Ayrıca yine bu bölümde, tezde değinilen denklik bağıntısı ve grup teorininmatematikte ne ifade ettiğini kısaca anlatacağız. Daha sonra denklik ve simetrigruplarını ifade ederek yönlendirilmiş veya yönlendirilmemiş bir cismin köşelerinin,kenarlarının veya yüzeylerinin m (m = 1,2,3,... gibi) farklı renkle boyamalarınıinceleyeceğiz ve buna ait birkaç örnek vereceğiz. Yapacağımız hesaplamalar veyaformüller bu m renkle birbirine denk olmayan kaç boyamanın olduğuna yöneliktir.Buradaki denklikten kastımız; şekle ait köşelerin (kenarların veya yüzeylerin) şekleuygulanan simetriler [rotasyonlar (dönmeler), yansımalar veya herhangi bir eksenetrafındaki dönmeler] sonucunda yer değiştirdiği köşe ile (kenarla, yüzeyle) aynırenkte olmasıdır. Örneğin bir şekle uygulanan Î i rotasyonu (dönmesi), şeklin aköşesini b köşesine götürüyorsa, ilk şekille Î i rotasyonu sonucunda elde edilenşeklin birbirine denk (boyama anlamında) olması için a ile b'nin (ve birbiri ile yerdeğişen diğer tüm köşelerin) aynı renkte olması gerekir.İkinci bölümde Burnside Teoremi ve Pòlya'nın Sayma Formülü'ne ilişkinteorem, ispatı ile birlikte verilmiştir. Burnside Teoremi; şekle uygulanan simetrilersonucunda oluşan, birbirine denk olmayan boyamaların sayısını bulmak içinyardımcı olacak bir teoremdir. Burnside Teoremi, bu konudaki basit problemlereçözüm ararken etkilidir. Daha karmaşık şekiller için; örneğin bir küpün köşelerininboyanması gibi problemler için kullanılması güçlük çıkaracağından bu tür karmaşıkproblemlerde yine bu tezde ele alacağımız Pòlya'nın Formülü'nü kullanacağız.Pòlya'nın Formülü karmaşık problemler için, dönme indeksi (ki bu bir üreteçfonksiyon yapısındadır) yardımıyla denk olmayan boyamaların sayısınınbulunmasında oldukça etkili ve sonuca çabuk götüren bir formüldür.IÜçüncü ve son bölümde Pòlya'nın Sayma Formülü'nün kimyada izomerlereuygulanışı ele alınmıştır. Ayrıca bu konuda G. Pòlya'nın 1935'te yayınladığımakalesine de yer verilmiştir.II

SUMMARYIn this paper we examine a special class of counting problems. Consider theways of coloring the corners (edges or faces) of a orianted and unorianted objects,with m different colors. The difficulty in this problems comes from the geometricsymmetries of the figure being colored. We used a special formula, based on this setof symmetries, to count all distinct colorings of a figure. We also obtain a generatingfunction that gives a pattern inventory of the distinct colorings. For example, thepattern inventory of black-white colorings of the corners of a cube with allgeometric symmetries allowed isb8 + b 7 w + 3b 6 w2 + 3b5 w3 + 7b 4 w4 + 3b3 w5 + 3b 2 w6 + bw7 + w8where the coefficent of b i w j is the number of nonequivalent coloring with i blackcorners and j white corners.In the pattern inventory, the coefficent of, say, b 3 w is the number ofnonequivalent colorings with three black and one white. This number can beobtained from Burnside?s Theorem. In greater generality we have the Pòlya?sEnumeration Formula. We will use this formula for more complex problems.Pòlya?s Enumeration Formula is important, practically because it solvesimportant problems and it is an elegant marriage of group theory and generatingfunctions.III