Düzlemde ve uzayda kinematik geometri

Abstract

ÖZETDÜZLEMDE VE UZAYDA K NEMAT K GEOMETRÖZKALDI, SıddıkaKırıkkale ÜniversitesiFen Bilimleri EnstitüsüMatematik Anabilim Dalı, Yüksek Lisans TeziDanışman : Prof. Dr. Halit GÜNDOĞANHaziran 2006, 123 sayfaBu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş için ayrılmıştır.kinci bölümde bir sonraki bölümde kullanılacak katı cisim hareketine ait temelkavramlar ele alınmıştır. Bu bölümde düzlem displerini, küresel displeri ve uzaydisplerini temsil eden matris dönüşümleri tanıtılmış, bu matrislerin karakteristikvektörlerinin, yukarıda ele alınan displerin geometrik olarak sırasıyla pol noktası,dönme ekseni ve vida ekseni olduğu gösterilmiştir. Ayrıca Cayley formülündenyararlanılarak, verilen bir eksen etrafındaki dönmeye karşılık gelen pozitif ortogonalmatris bulunmuş ve örneklendirilerek incelenmiştir. Üçüncü bölümde, katı cisminsürekli hareketi, displerin parametrelendirilmiş bir cümlesi ile özdeşleştirilmiştir.Düzlem ve uzay dispinin durumuna göre bir dönmenin açısal hız matrisininözelliklerini genelleştirmek için tanjant operatörler elde edilmiştir. Bir uzay dispintanjant operatörü screw adı verilen 6 â boyutlu bir vektörde toplanmış ve IR 4 ünbivektörleriyle screwler bir tutulmuştur. Dual sayılar, dual vektörler ve dual matrislertanıtılmış, screw teorinin temel bilgileri verilerek, dual sayı cebiri, screw koordinatdönüşümlerinde kullanılmıştır. Böylece dual ortogonal matrisler tanımlanmış ve birdual açısal hız matrisinin üsteli olarak bir vida dispi elde edilmiştir. Ayrıca, CliffordCebir inşaası kurulmuştur. Genel Öklid skalar çarpımı kullanılarak kompleks sayılarve Hamilton kuaterniyonları sırasıyla düzlem ve uzayın Clifford cebirleri olarak eldeedilmiştir. 3 â ve 4 â boyutlu uzaylar için dejenere skalar çarpım kullanılarakdüzlem ve dual kuaterniyonları Clifford cebirleri olarak elde edilmiştir. Dördüncübölüm tartışma ve sonuç için ayrılmıştır.Anahtar Kelimeler : Hareket, disp, Cayley formülü, tanjant operatörü, screw teori

ABSTRACTTHE KINEMATIC GEOMETRY ON THE PLANE AND SPACEÖZKALDI, SıddıkaKırıkkale UniversityGraduate School of Natural and Applied SciencesDeparment of Mathematics, M. Sc. ThesisAdvisor : Prof. Dr. Halit GÜNDOĞANJune 2006, 123 pagesThis thesis consists of four sections. The first section is reserved forindroduction. In the second section, we give basic concepts which is belong tomotion of rigid body that we use in the following sections. In this section presentsthe matrix transformations which represent planar, spherical and spatialdisplacements. The eigenvectors of these matrices are the pole, rotation axis andscrew axis, of the respective displacements as a geometrically. By using Cayley?sformula, a positive orthogonal matris is obtained which is corresponding of rotationabout the given axis and are investigated on the related examples. In the thirdsection, the continuous motion of a rigid body identifies with a parameterized set ofdisplacements. In this section the tangent operator is introduced to generalize theproperties of the angular velocity matrix of a rotation to the cases of planar andspatial motion. The elements of the tangent operators of spatial motion can bereassembled into six dimensional vectors known as screws and the equivalence ofscrews to bivectors of IR 4 . Thus, dual numbers, dual vectors and dual matrices arealso introduced and shown that dual number algebra is presented to screw coordinatetransformations. So, dual orthogonal matrix is defined and the screw displacement isobtained as the exponential of a dual angular velocity matrix. Also, it is described theconstruction of Clifford Algebra. By using general Euclid scalar product, complexnumbers and Hamilton?s quaternions are elements of Clifford algebras of the planeand space,respectively. By using degenerate scalar products for three and fourdimensional spaces, planar and dual quaternions are found to be Clifford algebras.The forth sections is reserved for discussion and conclusion.Key Words : Motion, displacement, Cayley?s formula, the tangent operator, screwtheory.