ULV ayrışımı ve uygulamaları

Abstract

ÖZETULV AYRIŞIMI VE UYGULAMALARIKOCAOĞLU, SelçukKırıkkale ÜniversitesiFen Bilimleri EnstitüsüMatematik Ana Bilim Dalı, Yüksek Lisans TeziDanışman: Yrd. Doç. Dr. Hasan ERBAYHaziran 2006, 32 sayfaOrtogonal dönüşüm tabanlı matris algoritmaları, matris hesaplamalarındaönemli bir rol oynar. Bunun nedenlerinden bazıları: (1) Ortogonal dönüşümlersayısal olarak kararlıdır ki, matrisin sayısal rankı istenildiğinde özellikle önemlidir,(2) Bu dönüşümler 2-normu korur, böylece problemleri sadeleştirmede kullanılırlar,(3) Ortogonal dönüşüm tabanlı matris ayrışımları genellikle önemli derecede azişlemle veri ekleme/çıkarma yapan güvenilir usullerdir, (4) Bu ayrışımlar noisesupression teknikleri ve diğer sinyal işleme uygulamalarında önemli bir rol oynayanmatris üzerinde tanımlanmış belirli altuzaylar hakkında önemli bilgiler verir.Zaman değişimli problemlerde, çok fazla veri ekleme/çıkarma işlemindensonra tekil değer ayrışımını (SVD) hesaplamak alternatif ayrışımları çekici kılanhesapsal olarak pahalı bir süreçtir. Bu tezde SVD'ye alternatif olan ULVD üzerineodaklanacağız.Bu tezde başlangıçtan ULVD'yi hesaplayan özyineli bir algoritma sunacağız.Bu algoritma mevcut algoritmaların tersine matrisin rankının küçük veya büyükolmasını ayırmaz. Algoritmamızın diğer tüm SVD algoritmalarından daha hızlıolduğunu gösterilmiştir.Anahtar Kelimeler: Matris hesaplaması, Matris ayrışımı, Tekil değer ayrışımı,SVD, ULV ayrışımı, ULVD.

ABSTRACTULV DECOMPOSITION AND ITS APPLICATIONSKOCAOĞLU, SelçukKırıkkale UniversityGraduate School Of Natural and Applied SciencesDeparment of Mathematics, M. Sc. ThesisSupervisor : Asst. Prof. Dr. Hasan ERBAYJune 2006, 32 pagesMatrix algorithms based on orthogonal transformations play an important rolein matrix computations. Some of the reasons for this are: (1) Orthogonaltransformations are numerically stable, which is particularly important when thenumerical rank of a matrix is an issue, (2) These transformations preserve the two-norm, thus, can be used to simplify problems, (3) Matrix decompositions based onorthogonal transformations are often easy to update/downdate in a reliabele fashionwith considerable less computation, (4) These decompositions can yield informationabout certain subspaces defined on the matrix which play an essential role in noisesupression techniques and other signal processing applications.For the time varying applications, computing the singular valuedecomposition (SVD) after each update/downdate is computationaly expensiveprocess which makes alternative decompositions attractive. This thesis focuses onULV decomposition (ULVD), an alternative to the SVD.In this thesis we present a recursive algorithm that computes ULVD fromscratch. Unlike current algorithms it does not distinguish whether the matrix is highor low rank. It is shown that our algorithm is faster than all stable SVD algorithms.Matrix computation, Matrix decomposition, Singular valueKey Words:decomposition, SVD, ULV decomposition, ULVD.