Development of an efficient electromagnetic simulation algorithm for planar geometries with multiple vertical conductors

Abstract

ÖZET Çoklu Dikey İletkenli Düzlemsel Geometriler için Verimli Elektromagnetik Simulasyon Algoritmasının Geliştirilmesi Çoklu dikey metalizasyonlu genel düzlemsel geometrilerin analizi için Moment Metodu uygulanmış MPIE (Karışık Potansiyel integral Denklemi) çözümü temelli bir verimli elektro magnetik simulasyon algoritması sunulmuştur. Bu tezin temel bilimsel katkısı (contribution) algoritmanın kendisi olmasına rağmen, bu amaç doğrultusunda ek olarak iki bilimsel katkı daha bulunmaktadır. Bu katkılar kapalı form Green fonksiyonları ve MoM matris girişleri olarak adlandırılan ana algoritmadaki iki adet alt başlığın araştırılması formundadır. Bu tezde sunulan algoritmanın en önemli kısmında kapalı form Green fonksiyonları uygulandığı için bunlar kritik olarak gözden geçirilmiştir. Aynı zamanda sadece Green fonksiyonlarının elde ediliş aşamaları değil bunların türetilmesi ve metodun sınırlamalarmdaki bazı yanlış anlaşılmalara da açıklık getirilmiştir. Bilindiği gibi kapalı form Green fonksiyonla rının türetilmesi kompleks üstelli frekans tanımlı (spektral domain) Green fonksiyonlarının yaklaşıklanması (veya yaklaşımı) ile başlar ve kapalı formdaki uzay tanımına (space domain) konan bu yaklaşık (veya yaklaşıklanmış) Green fonksiyonlarına Sommerfeld özdeşliğinin uygulanması ile devam eder. Son on yıl içerisinde, bu türetim işlemindeki bazı adımlarının matematiksel geçerliliği hakkında çeşitli sorular ortaya atılmış ve çözümler önerilmiştir. Bu sorular sapma noktalarının etkileri (branch point contribution), yan durgun terimlerin etk ileri, ve kapalı form Green fonksiyonlarına yüzey dalga kutuplarının katkısı başlıkları altında sınıflandırılabilir. Literatürde belirtilen başlıklarda verilen kapalı form Green fonksiyonlarının türetilmesindeki potansiyel problemler öncelikli olarak detayh bir şekilde tartışıldı ve gösterildi ki, bu problemlerin bazıları yanlış anlamadan bazıları fiziksel hataların sayısal (nümerik) hata olarak gösterilmesinden ve bazıları da çok az da olsa metodun sımrlamalanndan kaynaklanmaktadn-. viDüzlemsel geometrilerin analizi için bu çalışmadaki uygulanan sayısal teknik kapalı form Green fonksiyonları ile ilişkili uzay tanımı MoM çözümünün kullanıldığı ve MPIE formülasyonu üzerine kurulmuştur. MoM formülasyonundaki kapalı form Green fonksiyonları nın tanımı düzlemsel geometrilerin analizi için yapılan etkili sayısal iyileştirmeler de hali hazırda sonuçlandırılmıştır. Ancak dikey metalizasyon durumlarında Green fonksiyonlarım, basitçe kapalı forma getirmek metodun hesap verimliliğini artırmaz. Çünkü bu geometriler için kapalı form Green fonksiyonlarının MoM üe formülasyonunda bazı zorluklarla karşılaşılır. Bu çalışmada bu zorluklardan kaçınmak için bir çözüm önerilmiştir ve gösterilmiştir ki, çoklu dikey iletkenler verimli bir şekilde modellenebilir ve simulasyon algoritmasına kon abilir. `Verilen bütün dikey metalizasyonlar dikey doğrultuda aynı bağımlılıktadır. Bu tezde önerilen algoritmadan elde edilen sonuçlar ticari olarak kullanılan bilgisayar programlan ve deneysel sonuçlarla karşılaştmlmıştır. Anahtar kelimeler: Green fonksiyonları, Ayrık kompleks görüntü metodu, Tam dalga EM analiz, Moment Metodu, 3- boyutlu düzlemsel katmanlı ortam, Dikey üetkenler.

ABSTRACT An efficient electromagnetic simulation algorithm, which is based on the solution of mixed-potential integral equation (MPIE) via the method of moments (MoM), is presented for the analysis of general planar geometries with multiple vertical metallizations. Although the algorithm itself is the main contribution of this thesis, there have been two additional contributions in the steps towards this goal. These contributions are in the form of thor ough investigation of the two subtopics leading to the main algorithm, namely, closed-form Green's functions and MoM matrix entries. Since the closed-form Green's functions are employed in and the vital part of the al gorithm presented in this thesis, the steps of getting these Green's functions are critically reviewed, not only for the sake of completeness, but also for clarifying some misunderstand ings in the derivation, and the limitations of the method. As it is well-known, the derivation of the closed-form Green's functions begins with the approximation of the spectral-domain Green's functions by complex exponentials, and continues with applying the Sommerfeld identity to cast these approximated spectral-domain Green's functions into the space do main in closed forms. During the last decade, several questions have been raised on the mathematical validity of some steps in the derivation, and remedies have been proposed. These questions can be categorized under the topics of branch point contributions, the ef fect of quasi-static terms, and the contributions of the surface wave poles to the closed-form Green's functions. The potential problems of the derivation of the closed-form Green's func tions, with a priority given to the topics addressed in the literature, have been discussed in detail, and demonstrated that some are due to misunderstandings, some due to numerical errors interpreted as physical errors, and the others are the mere limitations of the method. The numerical technique employed in this work for the analysis of planar geometries is based on the solution of MPIE using the spatial-domain MoM in conjunction with the closed-form Green's functions. The introduction of closed-form Green's functions into the MoM formulation has already resulted in a significant computational improvement for the ivanalysis of planar geometries. However, in cases of vertical metallization, the computational efficiency of the method cannot be improved by simply casting the Green's functions in closed forms, which is due to some difficulties encountered in incorporating the closed-form Green's functions into the MoM formulation for such geometries. In this work, a solution to circumvent these difficulties is proposed, and it is demonstrated that multiple vertical conductors can be efficiently modelled and incorporated into the simulation algorithm, pro vided all vertical metallization have the same dependence in the vertical direction. The results obtained from the algorithm proposed in this thesis are compared to those obtained from commercially available software and experiments. Keywords: Green's functions, DCIM, Pull- wave EM analysis, Method of Moments, 3-D Planarly Layered Media, Vertical Conductors