Banach spaces with the grothendieck property

Abstract

X bir Banach uzayı ve X-yıldız da onun dual uzayı olsun. X-yıldız üzerinde norm topoloji,zayıf topoloji ve zayıf-yıldız topoloji olmak üzere üç standart topoloji vardır. Bu topolojilerinhepsi birbirinden farklıdır. Bazı X Banach uzayları için, birkaç bilindik uzay dahil olmaküzere, X- yıldız'daki zayıf-yıldız yakınsak diziler zayıf yakınsar. Bu uzaylar içinGrothendieck özelliğine sahiptir denir. Grothendieck özelliğine sahip bir Banach uzayıGrothendieck Uzayı olarak adlandırılır. Bu tür uzayların en basit örnekleri refleksif Banachuzaylarıdır.Grothendieck uzaylarında zayıf tıkız operatörler bulmak çok kolaydır. Basitolmayan Grothendieck uzaylarının ilk orneği olan sınırlı diziler uzayıni 1953'te A.Grothendieck vermiştir. ?Sur les applications lineaires faiblement compactes d'espaces dutype C(K),? adlı makalesinde A. Grothendieck K tıkız ve Hausdorffken C(K) uzaylarınınduallerinde zayıf tıkızlık için bir kriter ispatlamıştır. Ondan birkaç sene sonra da A.PelczynskiGrothendieck'in kriterini ölçü teorisine dayanan bir yöntemle ispatlamıştır ve kendi adınıtaşıyan V özelliğini tanımlamıştır. Eğer bir Banach uzayında bütün koşulsuz yakınsayanoperatörler zayıf tıkızsa o uzay için Pelczynski'nin V özelliğini taşır diyoruz. Pelczynski 'ninV özelliğini taşıyan bir dual uzayı Grothendieck uzayıdır. Her von-Neumann cebiri birGrothendieck uzayıdır. Bu tezin asıl amacı Banach uzayları teorisini ve Grothendiecközelliğini taşıyan Banach uzaylarını incelemek ve bu konuda günümüze kadar elde edilmişolan sonuçları sentezlemektir.

Let X be a Banach space and X-star be its dual space. On X-star there are three standardtopologies, namely norm topology, weak topology and weak-star topology. Thesetopologies are distinct. For certain Banach spaces X, including several familiar ones,weak-star convergent sequences in X-star converges weakly. These spaces are said tohave the Grothendieck property. A Banach space possessing this property is said to be theBanach space with the Grothendieck property or simply a Grothendieck space. The trivialexamples of such spaces are the reflexive Banach spaces. The first nontrivial one, thespace of bounded sequences, is presented by A. Grothendieck in 1953. One can easilyfind weakly compact operators from a Grothendieck space. In his paper ?Sur lesapplications lineaires faiblement compactes d'espaces du type C(K),? Grothendieckproved a criterion for weak compactness in the dual of C(K), the space of continuouscomplex valued functions on K, where K is any compact Hausdorff space. A couple ofyears later A. Pelczynski gave a measure theoretic proof of Grothendieck's criterion andintroduced the notion that is named after him as Pelczynski's property V. We say that aBanach space has the Pelczynski's property V if any unconditionally converging operatoris weakly compact. Any dual space having the Pelczynski's property V is a Grothendieckspace. In particular, any von-Neumann algebra is a Grothendieck space. The mainobjective of this Ms. thesis is to learn the basics of the Banach space theory, to study theBanach spaces with the Grothendieck property and make a synthesis of the resultsobtained so far.