Application of pesudo-hermitian theory to the PT-symmetric delta function potential with continuous real spectrum

Abstract

PT-Simetrik Hamiltonlar tan³t³ld³ ve pseudo-Hermisyenlikle olan ili»skilerigÄosterildi. Kesikli spektrumu olan diyagonalle»stirilebilir Hamiltonlar³n spektrum-lar³n³n reelli¸gi ile bu Hamiltonlar³n herhangi bir pozitif -belirli bir E operatÄorÄu i»cin E-pseudo-Hermisyen olmalar³n³n e»sde¸gerli¸gi gÄosterildi. Bir HS Hilbert uzay³nda tan³mlanm³»sherhangi bir E-pseudo-Hermisyen Hamilton H i»cin Kuantum Ä Ol»cÄum Teorisi ile uyumlu¯ziksel Hilbert uzay³ HS(¯z) kuruldu ve bu uzay³n HS Hilbert uzay³yla olan Äunitere»sde¸geli¸gi gÄosterildi. Daha sonra Pseudo-Hermisyen Teori kullan³larak reel eksenÄuzerinde tan³ml³ ve potansiyel k³sm³ tamamiyle sanal bir Z eklenti sabitli PT-simetrik»cift Delta fonksiyonundan olu»san Hamilton H incelendi. H'in spektrumunun, mutlakde¸geri belli bir kritik de¸gerden az olan bÄutÄun Z de¸gerleri i»cin reel oldu¸gu gÄosterildi.Z'de birinci dereceye kadar bir E metrik operatÄorÄu olu»sturmak i»cin H'in s³n³rl³ Äozde¸gerfonksiyonlar³ndan olu»san bir »ciftdikey sistem se»cildi. Daha sonra Z'de ikinci dereceyekadar e»sde¸ger Hermisyen Hamilton h bulundu. Sonu»c baz³ Gausssal dalga paket-lerinin beklenen enerji de¸gerlerini hesaplamak i»cin kullan³ld³ ve H'in Hermisyen ol-mayan k³sm³n³n bu beklenen enerji de¸gerleri ÄustÄundeki etkisi incelendi. Hem pozisyonhem de momentum uzaylar³nda, d³»sar³s³nda bu etkilerin h³zl³ca yok oldu¸gu etkile»simalanlar³ bulundu.

PT-symmetric Hamiltonians and their relation with pseudo-Hermiticityare introduced. For a diagonalizable Hamiltonian H with a discrete spectrum, equiv-alence of the reality of its spectrum and its E-pseudo-Hermiticity for some positivede¯nite operator E is shown. For such an E-pseudo-Hermitian Hamiltonian H de-¯ned on a Hilbert space HS, physical Hilbert space HS(phys) which is consistent withQuantum Measurement Theory is constructed and its unitary equivalence with HS isshown. Then using pseudo-Hermitian Theory the Hamiltonian H, de¯ned on real lineand having a PT-symmetric double Delta function potential with a purely imaginarycoupling constant Z, is explored. The existence of a critical Z value Zc which ensuresthe reality of the spectrum for those Z values whose absolute value is less than theabsolute value of Zc is shown. A biorthonormal system consisting of bounded eigen-function solutions of H and its adjoint is then chosen to construct a metric operatorE up to the ¯rst order terms in Z. The equivalent Hermitian Hamiltonian h up to thesecond order terms in Z is then found. The result is used to calculate the energy ex-pectation values of some Gaussian wave packets and to examine the non-Hermiticitye®ect on those expectation values. Both in position and momentum spaces interactionregions, outside of which non-Hermiticity e®ect diminishes rapidly, are found.