Portfolio selection in stochastic markets: Utility based approach

Abstract

Bu tezde çoklu zamanda ve sürekli zamanda rassal markette dönem sonu servetininin beklenen değerininin fayda fonksiyonunu en büyükleyen bir yatırımcının en iyi portföy seçimi problemi incelenmiştir. Fayda fonksiyonunun tipi HARA olarak alınmış ve marketin durumları bir Markov zincirine bağlı olarak değişmektedir. Marketin değişik durumları karşılaşılan ekonomik, finansal, sosyal, ve diğer şartları göstererek modelin belirli ve olasılıksal parametrelerini etkimektedir.Tezin ilk kısmında ayrık zamanlı bir market varsayılmıştır ve problem olarak dönem sonundaki servetininin beklenen fayda değerinienbüyükleyen bir yatırımcı ele alınmıştır. Eniyi yatırım politikası kullanıldığında oluşan varlık sürecinin yapısı ile Fourier transformu da dahil olmak üzere değişik özellikleri bulunmuştur. Üstel, güç, ve logaritmik kazanç-risk eğrileri hesaplanmış ve bunların doğrusal olduğu sonucu bulunmuştur. Normal ve üstel dağılımlar gibi bazı özel durumlar incelenerek sayısal örnekler verilmiştir.Tezin ikinci kısmında yatırımcının marketin durumu hakkında tam bilgi sahibi olmadığı durum incelenmiştir. Gözlenemeyen marketin durumu bir Markov zincirine bağlı hareket eder ve yatırımcılara bazı sinyaller gönderir. Rassal marketin durumu ile gözlemlerin arasındaki ilişki iki değişik method ile açıklanmıştır. Birincisi saklı Markov modelleri, ikincisi ise yeterli istatistik yöntemidir. Kısmi gözlemlere dayanan durum için en iyi portföy yönetimi politikaları çıkarılmış ve bu durumun tam bilgi akışının olduğu durum ile farkları gösterilmiştir.Tezin son kısmında ise Black-Scholes modeli kullanılarak sürekli zamanda market parametrelerinin bir Markov sürecine bağlı olduğu portföy eniyileme problemi incelenmiştir. En iyi yatırım politikasının açık çözümleri bulunmuş ve karşılık gelen değer fonksiyonu incelenmiştir. Ayrıca en iyi politikaya karşılık gelen servet süreci açık olarak hesaplanmış ve bazı özellikleri açıklanmıştır. Özellikle risk-kazanç eğrilerinin doğrusallığı gösterilmiştir.

In this thesis, we consider the optimal portfolio selection problem in multiple period and continuous time settings where the investor maximizes the expected utility of the terminal wealth in a stochastic market. The utility function has the structure of the HARA family and the market states change according to a Markov chain. The states of the market describe the prevailing economic, financial, social and other conditions that affect the deterministic and probabilistic parameters of the model.In first part we assumed a discrete time market and discuss the stochastic structure of the wealth process under the optimal policy and determine various quantities of interest including its Fourier transform. The exponential, power and logarithmic return-risk frontiers of the terminal wealth is shown to have a linear form.In the second part we investigated the case where the investor does not have perfect information about the market. The unobserved stochastic market is a Markov chain and it emits signals, or provides information, that is observed by the market players. The optimal portfolio policy under imperfect information is constructed and the differences between the perfect and imperfect information cases are presented.In the last part, we analyzed a Black-Scholes type continuous time models where the market parameters are driven by Markov processes. The problem of maximizing the expected utility from terminal wealth is investigated. We found explicit solutions for optimal policy and the associated value functions. We also constructed the optimal wealth process explicitly and discussed some of its properties.