An introduction to Heegaard floer homology

Abstract

Kapalı, yönlü, 3-boyutlu çokkatlılar için Heegaard Floer homoloji Heegaard diyagramlar ve bazı holomorf eğrilerin Lagrangian Floer homoloji teorisine benzer bir sayım kullanılarak tanımlanır. Her $s/in Spin^c$ yapısı için benzer bir inşa ile farklı homoloji grupları elde edilir: $/widehat{HF}(Y,s)$, $HF^{/infty}(Y,s)$, $HF^-(Y,s)$, $HF^+(Y,s)$ ve bunların herbiri üzerinde çalışılan 3-boyutlu çokkatlı için birer değişmezdir. Bu teori aynı zamanda düğüm değişmezi, düzgün 4-boyutlu çokkatlı değişmezi ve kontak 3-boyutlu çok katlı değişmezini de içerir.Tezde kapalı, yönlü, 3-boyutlu çokkatlılar için Heegaard Floer homoloji tanımı ve bu tanımı verebilmek için gerekli topolojik kavramların üzerinde odaklanılmıştır. Kapalı, yönlü 3-boyutlu çokkatlılarda yönlü ve homoloji sınıfı sıfır olan düğüm ve linkler için bir değişmez olan düğüm Floer homolojinin temellerine değinilmiş ve ek olarak da düğüm Floer homoloji ile benzer özellikler gösteren ve yönlü linkler için tanımlanan Khovanov homolojiden bahsedilmiştir.

Heegaard Floer homology for a closed, oriented three-manifold $Y$ is defined using Heegaard diagrams and a certain holomorphic curve count in the spirit of Lagrangian Floer homology. For each $s/in Spin^c(Y)$, similar constructions give different versions of homology groups $/widehat{HF}(Y,s)$, $HF^{/infty}(Y,s)$, $HF^-(Y,s)$, and $HF^+(Y,s)$, each of which is an invariant of the underlying three-manifold $Y$. The theory also contains a knot invariant, a smooth four-manifold invariant, and a contact three-manifold invariant besides other things.In this thesis, we focus on the definition of Heegaard Floer homology for a closed, oriented three-manifold $Y$ and the necessary topological tools to define it. The basics of knot Floer homology, an invariant of oriented, nullhomologous knots and links in closed, oriented three-manifolds are also discussed. In addition, we briefly mention another invariant called Khovanov homology for oriented links $L$ which seems to be related to knot Floer homology.