Optimal portfolio investment under transaction costs

Abstract

Bu tez çalışmasında, bağımsız özdeşçe dağılmış zamanda ayrık piyasalarda portföy eniyileme problemi piyasanın logaritmik Gauss dağılımına sahip ve gelişigüzel ayrık dağılıma sahip göreli fiyat vektörleri ile modellendiği senaryolar olmak üzere iki farklı senaryo üzerinde incelenmektedir. Bu senaryoların her ikisi için yeni yaklaşımlara yer verilmekte ve orantılı hareket masrafı bulunan bağımsız özdeşçe dağılmış piyasalarda beklenen birikimli sermayeyi enbüyüten portföy seçim algoritmaları sunulmaktadır. İlk olarak, sonlu sayıda aktife sahip mali piyasalarda en iyi yatırım, işaret işleme bakış açısından çalışılmaktadır. Yatırımcının birikimli sermayesini herhangi yatırım döneminde enbüyütmesi için elindeki sermayesini aktifler üzerinde nasıl dağıtması gerektiği ve ne zaman bu dağılımı yeniden tahsis etmesi gerektiği incelenmektedir. Özellikle aktif alım ve satımındaorantılı hareket masrafı toplayan, bağımsız özdeşçe dağılmış iki aktifli, zamanda ayrık piyasalarda beklenen birikimli sermayeyi enbüyüten portföy seçim algoritması sunulmaktadır. Bu, alım-satımın yalnızca portföy belirli eşik değerlerini ihlal ettiğinde gerçekleştiği `Eşik Değerinde Yeniden Dengelenen Portföyler` kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Göreli fiyat dizilerinin Black-Scholes modelindeki logaritmik Gauss dağılımına sahip olduğu varsayımı altında orantılı hareket masrafları göz önüne alındığında beklenen sermaye belirlenmekte ve herhangi yatırım döneminde en iyi beklenen birikimli sermayeyi elde eden eşik değerinde yeniden dengelenen portföy bulunmaktadır. Bu tezdeki türetmeler kolaylikla ikiden fazla aktifi bulunan piyasalara genellenebilmekte ve bu genellemelere tezdeki gereken yerlerde yer verilmektedir. Türetmelerden tahmin edildiği üzere geçmiş veri kümelerinde, literatürdeki portföy seçim algoritmalarına nazaran kazanılan sermayede önemli artış elde edilmektedir. İkinci bölümde ise, öncelikle orantılı hareket masrafı toplayan, bağımsız özdeşçe dağılmış iki aktifli, zamanda ayrık piyasalarda beklenen birikimli sermayeyi enb¨uy¨uten portföy kurulmaktadır. Daha sonra bu analizler ikiden fazla aktifi bulunan piyasaları kapsayacak şekilde genişletilmektedir. Piyasa geniş bir sürekli dağılım sınıfını da yaklaşıklamakta kullanılabilen gelişigüzel ayrık dağılıma sahip göreli fiyat vektör dizisi ile modellenmektedir. En iyi büyümeyi elde etmek için eşik değeri portföyleri kullanılmakta ve beklenen sermayeyi hesaplamak için bir özyineli güncelleme yöntemi sunulmaktadır. Daha sonra eşik değerinde yeniden dengeleme yöntemi çerçevesinde, portföylerin alabileceği değerler kümesinin ılımlı teknik koşullar altında bir indirgenemez Markov zinciri oluşturduğu gösterilmektedir. Bu Markov zincirine karşılık gelen durağan dağılım değerlendirilmekte ve beklenen birikimli sermayenin hesaplanması için doğal ve etkin bir yöntem sağlanmaktadır. Ardından karşılık gelen parametreler eniyilenmekte ve orantılı hareket masrafı toplayan, bağımsız özdeşçe dağılmış iki aktifli, zamanda ayrık piyasalarda en iyi büyümeli portföy sunulmaktadır. Daha sonra yaygın olarak bilinen bir finans problemi olan, zamanda sürekli Brown piyasalarının örneklenmesi ile oluşturulan zamanda ayrık piyasalarda en iyi portföy seçimi problemi çözülmektedir. Göreli fiyat vektörlerinin baz alınan ayrık dağılımının bilinmediği durumlar için en büyük olabilirlik kestirimi sunulmakta ve ayrıca benzetimlerdeki eniyileme çerçevesi ile ilintilendirilmektedir.

In this thesis, we consider portfolio optimization problem in i.i.d. discrete-time markets under two different scenarios, where the market is modeled by a sequence of price relative vectors with log-normal distribution and with arbitrary discrete distributions. We provide novel approaches for both of these scenarios and introduce optimal portfolio selection algorithms that maximizes the expected cumulative wealth in i.i.d. markets with proportional transaction costs. In the first part, we study optimal investment in a financial market having a finite number of assets from a signal processing perspective. We investigate how an investor should distribute capital over these assets and when he should reallocate the distribution of the funds over these assets to maximize the cumulative wealth over any investment period. In particular, we introduce a portfolio selection algorithm that maximizes the expected cumulative wealth in i.i.d. two-asset discrete-time markets where the market levies proportional transaction costs in buying and selling stocks. We achieve this using ``threshold rebalanced portfolios'', where trading occurs only if the portfolio breaches certain thresholds. Under the assumption that the price relative sequences have log-normal distribution from the Black-Scholes model, we evaluate the expected wealth under proportional transaction costs and find the threshold rebalanced portfolio that achieves the maximal expected cumulative wealth over any investment period. Our derivations can be readily extended to markets having more than two stocks, where these extensions are pointed out in the thesis. As predicted from our derivations, we significantly improve the achieved wealth over portfolio selection algorithms from the literature on historical data sets. In the second part, we first construct portfolios that achieve the optimal expected growth in i.i.d. discrete-time two-asset markets under proportional transaction costs. We then extend our analysis to cover markets having more than two stocks. The market is modeled by a sequence of price relative vectors with arbitrary discrete distributions, which can also be used to approximate a wide class of continuous distributions. To achieve the optimal growth, we use threshold portfolios, where we introduce a recursive update to calculate the expected wealth. We then demonstrate that under the threshold rebalancing framework, the achievable set of portfolios elegantly form an irreducible Markov chain under mild technical conditions. We evaluate the corresponding stationary distribution of this Markov chain, which provides a natural and efficient method to calculate the cumulative expected wealth. Subsequently, the corresponding parameters are optimized yielding the growth optimal portfolio under proportional transaction costs in i.i.d. discrete-time two-asset markets. As a widely known financial problem, we next solve optimal portfolio selection in discrete-time markets constructed by sampling continuous-time Brownian markets. For the case that the underlying discrete distributions of the price relative vectors are unknown, we provide a maximum likelihood estimator that is also incorporated in the optimization framework in our simulations.