On Rosenthal`s l^1-theorem

Abstract

X bir Banach uzayı ve (x_n)_n bu uzaydan sınırlı bir dizi olsun. Eğer X'in sürekli dualindeki her f için (f(x_n))_n dizisi yakınsıyorsa (x_n)_n dizisine zayıf Cauchy denir. 1974 yılında Haskell P. Rosenthal [10] bir Banach uzayının l^1'in eş yapısal bir kopyasınıiçermemesi ile o uzaydaki her sınırlı dizinin zayıf Cauchy bir alt dizisinin olmasının denkolduğunu kanıtladı. Bu tezde bu teoremin kombinatoryel ve topolojik kanıtlarını verecekve bazı denkliklerini inceleyecegiz. Daha sonra bazı uygulamalarını yapacağız.

Let X be a Banach space and (x_n)_n be a bounded sequence in X. The sequence (x_n)_nis said to be weakly Cauchy if, for each f in the continuous dual space of X, the sequence (f(x_n))_n converges.In 1974, Haskell P. Rosenthal [10] proved that a Banach space X does not contain anisomorphic copy of l^1 if and only if every bounded sequence (x_n)_n in X has a weaklyCauchy subsequence. In this thesis, we give combinatorial and topological proofs of thistheorem and examine some of its equivalences. Then we present some applications of it.