Generalızed pseudospectra ın connectıon wıth multıple eıgenvalues

Abstract

Wilkinson çoklu özdeğere sahip olmayan bir matristen çoklu özdeğere sahip matrislerkümesine uzaklığı, uzaklığın özdeğerlerin duyarlılığı ile ilintili olması yüzünden, 1960'ların sonunda çalıştı. Malyshev uzaklık için bir tekil değeri karakterizasyonu geliştirdi. Yakın zamanda Alam ve Bora uzaklığın yaklaşık spektrumunun bileşenlerinin birbirine değdiği en ufak değerine karşılık geldiğini kanıtladı. Ana amacımız uzaklık ile yaklaşık spektrum arasındaki bu ilintiyi genellemek. Önce Malyshev'in cebirsel karakterizasyonu ile Alam ve Bora'nin geometrik karakterizasyonunu ilişkilendirmeye calışıyoruz. Sonra bu tezin ana teması üzerine yoğunlaşıyoruz, genelleşmiş Wilkinson uzaklığı diye adlandırdığımız, verilen bir çokluk değerine sahip bir özdeğeri olan matrisler kümesine uzaklık ve bu uzaklığın yaklaşık spektrum cinsinden geometrik karakterizasyonu. Genelleşmiş yaklaşık spektrumu, verilen bir komşulukta bulunan bütün matrislerin verilen çokluk değerine sahip özdeğerler kümesi olarak tanımlıyoruz. Alam ve Bora'nın çalışmasının bir genellemesi olarak, genelleşmiş Wilkinson uzaklığı için genelleşmiş yaklaşık spektrumunun bileşenleri cinsinden bir üst sınırçıkarımı sunuyoruz.

Wilkinson studied the distance from a square matrix with distinct eigenvalues to the set of defective matrices in 1960s due to its connection with the sensitivity of eigenvalues. Malyshev derived a singular value optimization characterization for the distance. Recently, Alam and Bora established that the distance to defectiveness from a matrix corresponds to the smallest epsilon such that two components of the epsilon-pseudospectrum of the matrix coalesce. Our main aim is to generalize this relation between the distance to defectiveness and the pseudospectra. First we attempt to relate the algebraic characterization of Malyshev and geometric characterization of Alam and Bora. Then we focus on the main theme of this thesis, the distance to the set of matrices with a multiple eigenvalue of prescribed algebraic multiplicity, which we call generalized Wilkinson distance, and its geometric characterization in terms of pseudospectra. We introduce the generalized pseudospectrum as the set comprised of eigenvalues of prescribed multiplicity of all matrices within a given neighborhood. As a generalization of the work of Alam and Bora, we derive an upper bound for the generalized Wilkinson distance in terms of the coalescence of components of the generalized pseudospectra.