Global behavior of solutions of nonlinear dissipative equations of nonclassical types

Abstract

Bu tez çalışmasında, doğrusal olmayan disipatif başlangıç-sınır değer problemlerinin çözümlerinin global davranışını inceliyoruz. Özellikle, hidrodinamik konuları ile ilgili olan iki problemi ele alıyoruz. Bu problemler; orijinal Burgers denklemleri ve lokal ve doğrusal olmayan terimli Burgers denklemi. Disipatif denklemlerin sonlu-boyutlu asimptotik davranışları ile ilgili çalışmalardan ilham alarak; sonlu sayıda kontrol terimi kullanarak, her iki problemin kararlılığını gösteriyoruz. Sonlu sayıdaki kontrol terimlerine; sonlu sayıda Fourier modları, sonlu sayıda hacim elemanları ve sonlu sayıda düğüm noktaları örnek olarak verilebilir. Ayrıca, orijinal Burgers denklemlerinin çözümlerinin asimptotik davranışlarının, sonlu sayıda belirleyen modlar kullanarak tamamen anlaşılabileceğini kanıtlıyoruz. Bunlara ek olarak, her iki denklem için ters kaynak problemlerinin çözümlerinin varlığını, tekliğini ve kararlılığını gösteriyoruz. Uygun koşullar altında, ters kaynak problemlerinin çözümlerinin, direkt problemin durgun durum çözümlerine yaklaştığını gösteriyoruz. Ayrıca, bilinmeyen kaynak teriminin de, zaman sonsuza giderken, sıfıra yaklaştığını kanıtlıyoruz. Son olarak, orijinal Burgers denklemleri için oluşturduğumuz sonlu sayıda parametreli geribildirimli denetim problemleri ile ilgili teorik çalışmalarımızın geçerliliğini doğrulayan sayısal çalışmalar uyguluyoruz.

In this thesis, we investigate the global behavior of solutions of initial-boundary value problems (IBVP) for nonlinear dissipative equations. We particularly focus on two problems in hydrodynamics: IBVP for Burgers' original model of turbulence original Burgers' equations, and IBVP for Burgers' equation with nonlocal nonlinearity. Motivated by the studies in finite-dimensional asymptotic behavior of dissipative equations, we prove the stabilization of these equations by using finitely many controllers, such as finitely many Fourier modes, finitely many volume elements and finitely many nodal values. We also prove that the asymptotic behavior of solutions of original Burgers' equations can be completely determined by finite number of determining modes. Additionally, we show the existence, uniqueness and stability of the solutions of the inverse source problem for both equations. We show that, under proper assumptions, the solutions of the inverse source problem tends to a particular stationary state solution of the direct problem, and the unknown source term tends to zero as time goes to infinity. Finally, we perform numerical experiments to verify the validity of our theoretical findings on the finite-parameter feedback control problems for original Burgers' equations.