Genelleştirilmiş invers hesaplama yöntemleri ve istatistikteki uygulamaları

Abstract

ÖZET Genelleştirilmiş invers kavramı matris teorisinde oldukça önemli bir kavramdır. Çünkü bu invers bütün matrislere uygulanabilen daha geniş bir invere kavramı sağlar. mxn tipindeki bir A matrisi için m=n ve A singüler olmayan bir matris ise g-invers A nın bilinen inversidir.A tam sütun ranklı olduğunda A nın g-inversi ; A^CA' A)``1 A' ve A tam satır ranklı olduğunda A nın g-inversi ; A*=A' (AA1 )~1 ile belirlenir. A verilmiş bir matris ve b verilmiş bir vektör olmak üzere Ax=b sisteminin bir çözümünü, çözümü yoksa yaklaşık çözümünü bulmak nümerik analizde oldukça önemlidir. Sistem tutarsız ise bir yaklaşık çözüm bulmak isteriz. Bu durumda pek çok çözüm olabilir. Fakat bulacağımız x çözüm vektörünün minimum norma sahip olması istenir. A mxû tipinde ve b, A nın satır uzayında herhangi bir vektör olmak üzere eCx)* b~Axll 'i minimize eden bir çok x vektörü olabilir, böyle vektörler arasında öklid normu olarak en kısa (shortest solution) olanı x=A*b dir. istatistik' deki y=Xb + e madelini gözönüne aldığımızda, modeldeki y=Xb her zaman bir çözüme sahip olmayacaktır. Eğer çözüm yoksa bir yaklaşık çözüm bulmayı arzu ederiz. Bu yaklaşık çözüm g-inverslsrin kullanılmasıyla bulunabilir ve yine bu g-inversler yardımıyla lineer modellerin tahminleri yapılarak, bu tahminlerin varyansları için varyans analizi (AHOVA) tablosu hazırlanabilir.

vu SUMMARY Generalized inverse is an important concept in matrix theory because it provides an extension of the concept of an inverse which applies to all matrices. If A is a nonsingular matrix of order mxn with m-n then, its generalized inverse is simply the ordinary inverse of A. Also, if m£n and rank of A is n.then this generalized inverse is A`'`=(A' A)-1 A1. If m*n and rank of A is m, then this generalized inverse is A*=A' (AA' )_1. In numerical analysis it is important to find out whether a system of linear equations Ax=b is consistent or not and find the solution if it is. If it is inconsistent we desire to find an approximate solution. In this case there may exist many solutions, but the solution sought is required to have mlmimum norm. Let A be an mxn matrix and b be a vector that is in the row space of A. There may exist many vectors that minimize e(x)= Jjb-Ax, but x=A*b is the Shortest of this vectors. When we consider the linear model Y = XJ3 + e in statistics. It is clear that Y=X£ does not always have a solution. If it doesn't have any solution we want to find some kind of approximate solution. To this end we use to obtain approximate solution. We also use g-inverses to prepare AIOVA table.