S6 küresinin tümel gerçel altmanifoldları

Abstract

Bu tez çalışması kompleks manifoldlar teorisinin sıradışı bir örneği olan yaklaşıkKaehler S 6 (1) küresinin ve onun tümel gerçel altmanifoldlarının incelendiği birderlemedir.Üç bölümden oluşan bu çalışmada birinci bölüm, S 6 (1) küresi ve onun tümel gerçelaltmanifoldları hakkında yapılmış çalışmaların genel bir değerlendirmesine ayrılmıştır.İkinci bölüm beş alt bölümden oluşmaktadır. Bölüm 2.1. de S 6 (1) küresi üzerindetanımlanacak yapıların ve onun altmanifoldlarının incelenmesinde kullanılacak tanımlarve bazı temel teoremler verilmiştir. Bölüm 2.2. de hemen hemen kompleks yapı vehemen hemen Hermityen yapı kavramları incelenerek bu yapılar yardımıyla tanımlananbazı önemli tensörlerin özellikleri ele alınmıştır. Ayrıca bu bölümde bir hemen hemenkompleks yapının ve bir Kaehler formun hemen hemen Hermityen manifoldlar üzerindeayırdığı manifold sınıfları tanımlanmış ve bu sınıflar arasındaki kapsama bağıntılarıincelenmiştir. Bölüm 2.3. de yaklaşık Kaehler manifoldların Riemann eğriliktensörünün özellikleri incelenmiştir. Genel olarak bir yaklaşık Kaehler manifoldun birnon-Kaehler (Kaehleryen olmayan) manifold olması durumunda r skaler eğriliğinin birpozitif sabit olduğu kanıtlanmış ve S 6 (1) küresinin tümel gerçel altmanifoldlarınınincelenmesinde gerekli olan temel denklemler elde edilmiştir. Ayrıca böyle birmanifoldun 6 â boyutlu olması durumunda bir Einstein manifold olduğu gösterilmiştir.Bölüm 2.4. de Cayley sayılar cebri incelenmiş ve saf imajiner Cayley sayıları üzerindetanımlı vektörel çarpım sayesinde S 6 (1) küresinin bir yaklaşık Kaehler manifoldolduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca bir önceki bölümde ulaşılan genel sonuçlardan S 6 (1)küresi üzerinde geçerli olan temel denklemlerin elde edilişi gösterilmiştir. Bölüm 2.5. inilk kısmında S 6 (1) küresinin bir minimal tümel gerçel yüzeyinin bir küreye eşyapılı(homeomorf) olması durumunda tümel geodezik olduğu kanıtlanmıştır. İkinci kısımdaS 6 (1) küresinin tümel gerçel 3 â boyutlu altmanifoldunun yönlendirilebilir ve minimalolduğu gösterilmiş ve böyle bir altmanifoldun sabit eğrilikli olması durumundaeğriliğinin ya 1 ya da 1 16 olması gerektiği kanıtlanmıştır.Üçüncü bölümde ise yapılan çalışma ile ilgili bir değerlendirme yer almaktadır.

This thesis represents a review in which the nearly Kaehler S 6 (1) and its totally realsubmanifolds were investigated.The present study consists of three parts. In the first part, a general evaluation of thestudies about S 6 (1) and its totally real submanifolds is presented.The second part includes five sections. In Section 2.1. some definitions and fundamentaltheorems that will be needed to study the structures on S 6 (1) and its submanifolds aregiven. In Section 2.2. the notions of almost complex and almost Hermitian structures, aswell as properties of some important tensors which are defined with these structures arepresented. Moreover, in this section, some manifold classes which are defined by almostcomplex structure and Kaehler form on Hermitian manifolds are studied, then someinclusion relations between these classes are provided. In Section 2.3. properties ofRiemann curvature tensor on a nearly Kaehler manifold are discussed. It is also provedthat scalar curvature r of a non-Kaehler nearly Kaehler manifold is a positive constant,and such a manifold is an Einstein manifold when it is 6 â dimensional. In addition,some equations which are held on totally real submanifolds of S 6 (1) are presented. InSection 2.4. by a vector product on purely imaginary Cayley numbers it is proved thatS 6 (1) is a nearly Kaehler manifold. Moreover, using the general conclusions of theprevious section, some fundamental equations that are held on S 6 (1) are supplied. Inthe first part of Section 2.5. it is proved that if a minimal totally real surface of S 6 (1) ishomeomorphic to a sphere, then it is totally geodesic. In the second part of the sectionin question the fact that a totally real 3 â dimensional submanifold of S 6 (1) isorientable and minimal is proved. Furthermore, it is proved that if such a submanifoldhas constant curvature c , then either c = 1 or c = 1 16 .An evaluation of this study is placed in the third part.