L3 de maksimal Riemann yüzeyleri

Abstract

viÖZETL3 DE MAKSİMAL RIEMANN YÜZEYLERİBu tez çalışması üç bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde L3 deki maksimalRiemann yüzeyler hakkında literatürde yer alan çalışmaların genel bir değerlendirmesiyapılmıştır.İkinci bölüm sekiz alt bölümden oluşmaktadır. Bölüm 2.1. de Riemann yüzeyin tanımıiçin, kompleks analiz ve topolojiden gerekli olacak bilgiler verilmiştir. Ayrıca Riemannyüzeyi üstündeki fonksiyonlar, 1-formlar ve onların integralleri tanımlanmıştır. 2.2. deise Riemann yüzeyleri cebirsel fonksiyonlar yardımıyla tanımlanmıştır. Bölüm 2.3. deL3 ün tanımı verilmiş ve düzlemin uzaysal, ışıksal veya zamansal oluşuna göre L3 de birdüzlemsel eğrinin sıfırdan farklı eğriliğe sahip olmasının ne anlama geldiğiaçıklanmıştır. Bölüm 2.4. de ise L3 de ortalama eğriliği verilen uzaysal yüzeylerinGauss dönüşümü ve Weierstrass gösterim formülü açıklanmıştır. Ayrıca bu kısımda L3de maksimal yüzey örnekleri ve maksimal dönel ve regle yüzeyler ile ilgili iki teoremverilmiştir.Paralel düzlemler üstünde çember parçalarından oluşturulan maksimal uzaysalyüzeylerin ailesi Bölüm 2.5. de incelenerek bu kapsamda aşağıdaki teoremkanıtlanmıştır;L3 de maksimal uzaysal bir M yüzeyi paralel düzlemler üstündeki çember parçalarındanoluşturulmuşsa, bu yüzeyin düzlemlerinin uzaysal, zamansal veya ışıksal olması halindesırasıyla Teorem 2.5.1., Teorem 2.5.2. ve Teorem 2.5.3. de verilen yüzeylerden birisininolacağı gösterilmiştir.L3 de maksimal uzaysal bir yüzey çember parçalarından oluşturulmuş ise o zamanoluşumun düzlemlerinin paralel olacağı Bölüm 2.6. da kanıtlanmıştır. L3 de çemberparçalarından oluşturulan sıfırdan farklı sabit eğrilikli yüzeyler 2.7. de çalışılmıştır.Burada oluşumun düzlemleri uzaysal ise bu düzlemlerin paralel ve o takdirde yüzeyindönel bir yüzey olacağı kanıtlanmıştır. 2.8. de L3 de sıfırdan farklı sabit eğrilikliyüzeyler için verilen teoremlerin benzeri Ln+1 deki hiperyüzeyler için verilmiştir.Burada paralel uzaysal hiperdüzlemler üstündeki küre parçalarından oluşturulan Myüzeyi:a) H â 0 veya H=0 ve n ⥠3 ise o takdirde yüzeyin dönel bir yüzey,b) H=0 ve n=2 ise, o takdirde yüzeyin bir Lorentz katenoidi veya dönel olmayanbir parametreli maksimal yüzey ailesine aitolacağı kanıtlanmıştır.Üçüncü bölümde ise tezle ilgili bir tartışma ile konunun genel bir değerlendirmesiverilmiştir.vi

viiSUMMARYMAXIMAL RIEMANN SURFACES IN L3This study is consisted of three parts. In the fırst part a general evaluation of studiesabout Maximal Riemann Surfaces in L3 is given.The second part is consisted of eight sections. In Section 2.1. some informations thatwill be needed from topology and complex analysis are given. Moreover, in this sectionthe functions, 1-forms and their integrals on Riemann surfaces are defined. In 2.2 isgiven the definition of the Riemann surface by means of the algebric functions. InSection 2.3 the definition of L3 and the meaning of the planar curve with nonzero meancurvature in cases the plane is spacelike, timelike or lightlike is explained. The Gaussmap and the Weierstrass representation of spacelike surface with the given meancurvature is presented in Section 2.4. In this section are also given some examples ofmaximal surfaces and two theorems about surfaces of revolution and ruled surfaces.The family of spacelike maximal surfaces foliated by circles in parallel planes is studiedin section 2.5 and the following theorem is proved;If M, a spacelike maximal surface in L3 is foliated by pieces of circles in parallel planesthen M is one of the surfaces described in Theroem 2.5.1, Theorem 2.5.2. and Theorem2.5.3. according to the planes of foliation are spacelike, timelike or lightlike(respectively).In section 2.6 is shown that if a maximal spacelike surface is foliated by pieces ofcircles then the planes of the foliation are actually parallel.The surfaces with nonzero constant mean curvature foliated by pieces of circles arestudied in section 2.7. It is proved that if the planes of foliation are spacelike then theplanes are parallel and so the surface is a surface of revolution. The theorems similarwith the ones given for the surfaces in L3 with nonzero mean curvature, for thehypersurfaces in Ln+1 are given in Section 2.8. If M is foliated by spheres in parallelspacelike hyperplanes then it is proved thata) M is a hypersurface of revolution if H â 0 or H=0 and n ⥠3b) If H=0 and n=2, M is the Lorentzian catenoid or M belongs to a non-rotationalone-parametric family of maximal surfaces.In the third part a general evaluation of this subject is given by a discussion about thisstudy.vii