Chen eşitsizlikleri ve bazı uzay formlarına uygulamaları

Abstract

Bu tezin temel amacı, Chen eşitsizlikleri ve bazı uzay formlarına uygulamalarınıincelemektir.Dört bölümden oluşan bu çalışmada birinci bölüm, eğrilikler hakkındaki bazı tarihibilgiler yanında B.Y. Chen tarafından tanımlanan ve Riemann değişmezleri olarakadlandırılan kavramların genel bir değerlendirmesine ayrılmıştır.İkinci bölüm beş alt bölümden oluşmaktadır. Bölüm 2.1. de, tez kapsamında gerekliolacak tanımlar ve temel teoremler verilmiştir. Bölüm 2.2. de, yeni tip Riemann eğrilikdeğişmezleri sunulmuştur. Bölüm 2.3. te, Riemann uzay formları, Einstein uzayları vekonformal düz uzaylar karakterize edilmiştir. Bölüm 2.4. ün ilk kısmında, Riemannuzay formları için Chen eşitsizlikleri ve onların eşitlik halleri detaylı bir şekilde elealınmıştır. Burada, ilk olarak δ ( n1 ,..., nk ) yı içeren kuvvetli eşitsizlikler ve sonra keyfidik boyutlu altmanifoldlar için Ricci eğriliği ve şekil operatörü arasındaki ilişkilerincelenmiştir. Ayrıca Chen eşitliğini sağlayan bazı özel altmanifoldlar çalışılmıştır. Bubölümün ikinci kısmında ise keyfi Riemann altmanifoldları için genel bir optimaleşitsizlik ele alınmıştır. Bölüm 2.5. te, altmanifold teorisinde özel bir noktasal eşitsizlikçalışılmıştır.Üçüncü bölümde, bir Riemann uzay formuna izometrik olarak dahil edilmiş tümeljeodezik Riemann uzay formlarının bazı karakterizasyonları ve bununla birlikte her birkarakterizasyon için keyfi dik boyutlu bir Riemann manifoldunun Öklid uzayına birRiemann uzay formu olarak minimal izometrik şekilde dahil edilebilmesi için gerekliolan bir koşul elde edilmiştir.Dördüncü bölümde ise yapılan çalışma ile ilgili bir değerlendirme yer almaktadır.

The main purpose of this thesis is to investigate Chen?s inequalities and theirapplications to some space forms.The study consists of four parts. In the first part, a general evaluation of some historicalfacts about curvatures and further improvements of them called Riemannian invariantswhich have been defined by B.Y. Chen are presented.The second part includes five sections. In section 2.1. some definitions and fundamentaltheorems that will be needed in the content of the thesis are given. In section 2.2. somenew types of Riemannian curvature invariants are presented. In section 2.3. Riemannianspace forms, Einstein spaces and conformally flat spaces are characterized. In the firstpart of section 2.4. Chen?s inequalities and the equality cases of them for Riemannianspace forms are examined. In this part, firstly sharp inequalities involving δ ( n1 ,..., nk )and then relations between Ricci curvature and shape operator for submanifolds witharbitrary codimensions are investigated. Moreover some special submanifolds whichsatisfy Chen?s equality are studied. In the second part of this section, a general optimalinequality for arbitrary Riemannian submanifolds is looked over. In section 2.5. aspecial pointwise inequality in submanifold theory is studied.In the third part, some characterizations of totally geodesic Riemannian space formsisometrically immersed in a Riemannian space form are obtained and also for eachcharacterization a necessary condition for a Riemannian manifold to be a Riemannianspace form and minimal in any Euclidean space regardless of codimension is obtained.An evaluation of this study is placed in the fourth part.