Birlikte kompakt kümeler ve ergodik teoriye uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada birlikte kompakt kümeler ve Ergodik teoriye uygulamaları incelenmiştir. Beş bölümden oluşan bu çalışmaya, iki yardımcı ve diğerleri esas olmak üzere dört kısımdan oluşan ikinci bölüm temel teşkil etmektedir.İkinci bölümün ilk kısmında, Banach uzayı olmak üzere bütün sınırlı ve doğrusaal operatörlerin kümesi olan uzayında; düzgün, kuvvetli ve zayıf yakınsaklık kavramları ile bu kavramlar arasındaki ilişkiler açıklanmıştır. Ayrıca; kompakt operatör, kompakt küme, dizisel kompakt küme, göreceli kompakt küme ve tam sınırlı küme gibi temel kavramlara yer verilmiştir.İkinci kısımda, bir operatörün spektrumu, rezolventi ve spektral yarıçapı gibi spektral teoriyle ilgili temel bilgiler ele alınmıştır. Ayrıca, operatör fonksiyonlarından bahsedilerek spektral küme ve spektral izdüşüm kavramları da açıklanmıştır. Bu kısmın sonunda, bir operatör ailesi için ortak spektral yarıçap kavramı ve özellikleri verilerek bazı teoremler elde edilmiştir.Üçüncü kısımda, birlikte kompakt küme kavramı ve bu kümelerin özellikleri detaylı bir şekilde çalışılmıştır. Ayrıca, bu kümelerin spektral yapılardan kısmen bahsedilmiştir.Son kısımda, birlikte kompakt kümelerin Ergodik teoriye uygulamaları çalışılmıştır. Bu kısımda J.A.Higgins'in [9] doktora tezi temel alınmıştır. Higgins'in [9] bu çalışmasından yararlanılarak spektral yarıçapın sürekliliği ile ilgili bazı önermeler kanıtlanmıştır.

In this study, collectively compact sets and their applications to Ergodic theory have been investigated. This work consists of five chapters. However, it is based only on Chapter 2 and it consists of four sections, two of which are supplemental and the others are fundamental.In the first section of Chapter 2, the concepts of uniform, strong, and weak convergence in space, which is the set of all linear and bounded operators on a Banach space , and their relations between them have been explained. Moreover, fundamental concepts such as compact operator, compact set, sequencially compact set, relatively compact set and totally bounded set have been discussed.In the second section, some fundamental concepts related to spectral theory such as the spectrum, the resolvent and the spectral radius of an operator have been taken up. Furthermore, by mentioning functional calculus, the terms of spectral set and spectral projection have been explained. At the end of this section, the consept of joint spectral radius for a family of operators and its properties have been first given, and then some theorems have been obtained.In the third section, collectively compact sets and their properties have been exhaustively studied. Also, the spectral properties of these families have been partially mentioned.In the last section, applications of collectively compact sets to Ergodic theory have been studied. This section is mainly based on PhD thesis of J.A. Higgins [9]. By using the results of that work of Higgins, some propositions related to continuity of the spectral radius for some operators have been proved.