Riemann-Otsuki uzaylarında bazı özel eğrilerin tanımı ve incelenmesi

Abstract

Riemann-Otsuki uzayları, Otsuki tarafından tanımlanan genel konneksiyon kavramı ile ilişkilendirilen bir Riemann metriği ile karakterize edilir. Bu uzay, A.Moor tarafından tanımlanan Weyl-Otsuki uzayının bir özel halidir.Genel konneksiyon tanımında hareket noktası afin konneksiyonun bileşenleridir. Bilindiği üzere bir afin konneksiyonun lokal koordinatlara göre ifade edilen bileşenleri, birer geometrik nesnedir ancak geometrik çokluklar değillerdir. Çünkü bir koordinat dönüşümünde bunlar tipinde bir tensörün bileşenleri gibi dönüşürler, ancak lokal koordinatların ikinci mertebeden kısmi türevlerini içeren terimler barındırırlar. Buradan hareketle, afin konneksiyonun bileşenleri ile tipinde bir tensörün bileşenlerinin birbirinden tamamıyla farklı kavramlar olmadığını T.Otsuki göstermiştir. Bu iki kavram Otsuki'nin tanımladığı bir genel konneksiyonun özel halleridir. Bu nedenle Otsuki konneksiyonu diferansiyellenebilir manifoldlar için afin konneksiyon kavramının genelleştirilmesinden ibarettir.Bu genelleştirmeyi yapan Otsuki, 2.mertebeden tanjant demeti kavramını kullanarak, afin, projektif ve konformal konneksiyon gibi klasik konneksiyonlara tek bir bakış açısından bakılabileceğini göstermiştir. Otsuki çalışmasında, genel konneksiyonu tanjant demeti ile ikinci metrebeden kotanjant demetinin tensör çarpımının bir kesiti olarak tanımlamıştır. Genel konneksiyonu bu şekilde tanımladıktan sonra, genel konneksiyona göre kovaryant türevi tanımlayarak, bu kovaryant türev ile temel kovaryant türevin ilişkisini ortaya koymuştur.Ayrıca, bir genel konneksiyonun (1,1) tipinden bir Q tensörü ile çarpımının da bir genel konneksiyon olduğu Otsuki tarafından gösterilmiştir. Bu şekilde elde edilen konneksiyonlara genel konneksiyonunun, kontravaryant ve kovaryant kısımları adı verilmiştir.n-boyutlu Riemann-Otsuki uzayını ilk defa Nadj tanımladı ve bu uzayın alt uzayları ile bu altuzaya ortogonal altuzayları inceledi. Bu altuzaylar da birer Riemann-Otsuki uzayı olacak şekilde altuzay ve onun ortogonal uzayında genel konneksiyonları belirledi. Riemann-Otsuki uzayında Ricci formülü, Gauss-Codazzi, Kühne denklemleri ve Frenet formülleri yine Nadj tarafından elde edildi. Ayrıca Nadj, Riemann-Otsuki uzayının bir altuzayındaki otoparalel eğrileri tanımlayarak bu eğrilerin üst uzayda da otoparalel olmaları için gerekli koşulları elde etmiştir.Diğer taraftan, Riemann uzayındaki eğrilerin sonsuz küçük deformasyonlarının J.A.Shouten, K.Yano ve H.A.Hayden tarafından incelendiği bilinmektedir. Riemann uzayındaki eğrilerin deformasyonlarının incelenmesi Riemann uzayları için tanımlanmış operatörleri kullanılarak yapılmıştır.Bu tez çalışmasında, Riemann uzayında tanımlanan iki operatör Riemann-Otsuki uzayları için hesaplanarak eğrilerin deformasyonunu incelemek için kullanılmıştır. Ayrıca, paralel teğet ve Combescure deformasyonları tanımlanmış ve otoparalel eğrileri otoparalel eğrilere ve çemberleri çemberlere dönüştüren deformasyonlar yeniden elde edilmiştir. Daha sonra, Riemann-Otsuki uzayında bir helis eğrisini tanımlayan deformasyon elde edilmiş ve Riemann-Otsuki uzayındaki bir involüt eğrisinin Riemann uzayındaki bir involüt eğrisinden farklı olan özellikleri araştırılmıştır. Son olarak, Riemann uzayında Pears tarafından incelenen Bertrand eğrileri n-boyutlu Riemann-Otsuki uzayında incelenerek, Riemann uzayındakilerden farklı olan özellikleri elde edilmiştir.

Riemann-Otsuki spaces are characterized by a Riemannian metric associated with general connection concept defined by T.Otsuki. This space, as defined by A. Moor is a special case of a Weyl-Otsuki space.As is well known, components on an affine connection expressed in local coordinates constitute a geometrical object but not a geometrical quantity, because for coordinate transformations they are transformed in the same way as the components of a tensor of type (1,2), but related with the terms containing the second order partial derivatives of the local coordinates. However, T. Otsuki showed that the components of an affine connection and the components of a tensor of type (1,2) are not entirely different concepts. These two concepts are a special cases of a general connection so the Otsuki connection is a generalization of a concept of an affine connection in differantiable manifolds.Using the concept of tangent bundles of order 2, Otsuki showed that the classical connections such as affine, projective and conformal connections on manifolds can be considered from unificative standpoint. Otsuki defined a general connection as a cross-section of the tangent vector bundle and the cotangent bundle of second order. Then he defined the covariant derivative with respect to this connection and gave the relationship between covariant derivative and basic covariant derivative.Moreover, Otsuki showed that the product of a tensor of type (1,1) and the general connection is a general connection, too. These connections are called the contravariant and the covariant part of the general connection.Nadj F, defined the Riemann-Otsuki spaces and studied their subspaces and the orthogonal space of any subspace of the Riemann-Otsuki space. Then he determined the coefficients of the connections a subspace and its orthogonal space so that this subspaces be Riemannian-Otsuki spaces, too. Then he obtained Frenet and Ricci?s formulas, as well as, Gauss, Codazzi and Kühne equations of Riemann-Otsuki spaces. He also defined the autoparallel curves of a subspace of Riemann-Otsuki space and gave some necessary conditions so that this type of curves be autoparallel curve of the space, too.On the other hand, infinitesimal deformations of curves in a Riemannian space have been studied by H. A. Hayden, J. A. Shouten, K. Yano by using operators defined in the Riemannian space.In this thesis, we define two operators in Riemann-Otsuki space and use them for studying the deformation of the curve. Moreover, we define parallel tangent and Combescure deformations and determine the deformations carrying autoparallel curves into autoparallel curves and Riemannian circles into Riemannian circles in Riemann-Otsuki space. Then we determine the deformations which define helical curves in Riemann-Otsuki space and investigate some characteristics of an involute curve which are different from the ones in Riemannian space. Finally, we investigate Bertrand curves in an n-dimensional Riemann-Otsuki space and obtain some properties of these curves which are different from the Riemann space studied by Pears.