Weyl-Otsuki uzaylarında bazı özel eğrilerin incelenmesi

Abstract

Bu çalışmada, Weyl-Otsuki uzaylarında bulunan kongrüans eğrileri, eğrilik çizgileri, konjüge eğriler ve asimptotik eğriler incelenmiştir.Çalışmanın birinci bölümü, Weyl-Otsuki uzayları hakkında yapılmış çalışmaların genel bir değerlendirmesine ayrılmıştır.Çalışmanın ikinci bölümünde ilk olarak, bir manifoldun ikinci mertebeden tanjant demetinin incelenmesi için r-jet kavramı, vektör demeti ve çatı demeti tanımları verilmiştir. Genel konneksiyon kavramı ile kovaryant diferansiyelin elde edilişi gösterilmiştir. Özel olarak regüler genel konneksiyon ve temel kovaryant diferansiyel kavramları verilmiştir. Bir regüler genel konneksiyonun kontravaryant ve kovaryant kısımları ve bu kısımlara göre temel kovaryant diferansiyellerin elde edilişi gösterilmiştir. Bir eğri boyunca kovaryant diferansiyel ve temel kovaryant diferansiyel tanımları yapılarak geodezik eğri tanımı elde edilmiştir. Genel ve regüler genel konneksiyonların burulma ve eğrilik formları incelenmiştir. Üzerinde bir genel konneksiyon tanımlı bir Riemann manifoldun alt manifoldlarında indüklenmiş genel konneksiyon ve indüklenmiş regüler genel konneksiyonların kuruluşu incelenmiştir. Son olarak Weyl-Otsuki uzayları tanıtılmıştır.Çalışmanın üçüncü bölümü elde edilen bulgulara ayrılmıştır. Bu bölümde, ilk olarak, Weyl-Otsuki uzaylarında Gauss, Codazzi ve Künhe eşitliklerinin elde edilişi gösterilmiştir. Weyl-Otsuki manifoldlarında kongrüans eğrileri tanımlanmış ve bu eğriler, ortogonal olma koşulu altında incelenmiştir. Bu inceleme için, Ricci dönme katsayıları kullanılmış ve bu katsayılar yardımıyla genel konneksiyonun belirlenebileceği gösterilmiştir. Bir n-li ortogonal sistemin bir birim tanjant vektör alanının paralelliği ile bu sistemin eğrilerinin geodezik, normal ya da irrotasyonel olma koşulları incelenmiştir. Son olarak, Weyl-Otsuki manifoldunun alt manifoldunda bulunan eğrilik çizgileri, konjüge eğriler ve asimptotik eğrileri incelenerek Riemann manifoldlarında birbirine denk olan eğrilik çizgileri tanımlarının Weyl-Otsuki manifoldlarında birbirine denk olmadıkları gösterilmiştir.Çalışmanın dördüncü bölümünde, elde edilen sonuçların bir değerlendirmesi yapılmıştır.

This study is an investigation of congruences of curves, lines of curvature, conjugate lines and asymptotic lines in Weyl-Otsuki spaces.In the first chapter, a general evaluation of the studies about Weyl-Otsuki spaces is presented.In the second chapter, to investigate the tangent bundle of order 2 of a manifold, the notions of r-jets, vector bundles and frame bundles is introduced. The definitions of general connections and covariant differantials are presented. Especially, the notions of regular general connections and the basic covariant differantials are given. The contravariant and covariant parts of a regular general connection and the basic covariant differantials with respect to these parts are presented. The definitions of covariant differentiation and basic covariant differentiation along a curve, as well as the definition of a geodesic curve are given. The torsion forms and curvature forms of both general connections and regular general connections are presented. Foundations of the induced general connections and the induced regular general connections of a submanifold in a Riemannian manifold with general connections are introduced. Finally, Weyl-Otsuki spaces are introduced.The third chapter is devoted for some results of this study. In this chapter, firstly, Gauss, Codazzi ve Künhe equations of Weyl-Otsuki spaces are written. Congruences of curves in Weyl-Otsuki manifolds are defined and these curves are investigated under the orthogonally conditions. For this investigation, the Ricci?s coefficients of rotation are used and it is proved that a general connection is determined by these coefficients. The parallelism of the unit tangent vector field of an orthogonal ennuple and the conditions of the curves of this ennuple to be the geodesic, normal or irrotational are discussed. Finally, after the investigation of lines of curvature, conjugate lines and asymptotic lines in Weyl-Otsuki manifolds, it is proved that two kinds of definition of the line of curvature which are equivalent in Riemannian manifolds are not equivalent in Weyl-Otsuki manifolds.An evaluation of the results of this study is carried out in the fourth chapter.