Konneksiyonların geometrisi

Abstract

Konneksiyonların geometrisini incelemek için öncelikle yoğun bir biçimde analiz, cebir ve topoloji bilgilerinin gözden geçirilmesine gereksinim duyulmaktadır. Bu hazırlıklar sonucunda, bu bilgilerin diferansiyel geometri içinde nasıl kullanıldığını görmek bu tezin temel amacıdır.Bu çalışma, diferansiyellenebilir manifoldlar ve diferansiyellenebilir manifoldlar üzerinde tanımlanan bazı temel kavramlar, lineer konneksiyonlar, Riemann manifoldları, tensör demetleri, vektör demetleri olmak üzere dört ana başlıktan oluşmaktadır.Birinci kısımda, daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan ön bilgiler verilmiştir. Ardından diferansiyellenebilir manifold kavramı tanıtılıp örnekler verilmiş ve bu yapılar üzerindeki teğet vektör, vektör alanı, eğri ve diferansiyellenebilir dönüşüm kavramları incelenmiştir.İkinci kısımda, bir diferansiyellenebilir manifold üzerinde lineer konneksiyon tanımı verilmiştir. Ayrıca bir lineer konneksiyona göre, bir diferansiyellenebilir manifold üzerindeki bir eğrinin jeodezik olması koşulu ifade edilmiştir.Üçüncü kısımda, bir diferansiyellenebilir manifold üzerinde metrik alanı tanımlanmıştır. Buna ek olarak Riemann metriği, Riemann manifoldu ve Riemann konneksiyonu kavramları ifade edilerek Riemann konneksiyonunun burulmasız bir metrik konneksiyon olduğu gösterilmiştir. Öte yandan, bir Riemann manifoldundaki bir eğrinin jeodezik olması ile ilgili teoremler verilmiş ve sonuçlar elde edilmiştir.Son kısımda ise tensör demeti kavramı incelenmiş ve bu yapının bir diferansiyellenebilir manifold olduğu kanıtlanmıştır. Bunun yanı sıra vektör demetleri, tensör demetleri, çatı demetleri, asal lif demetleri kısaca tanıtılmış ve bu yapıların diferansiyellenebilir manifoldlarla olan bağlantısı ortaya konmuştur.

In order to examine the geometry of connections, the knowledges of analysis, algebra and topology are intensely needed for review. As a result of the preparations of these knowledges, to see how they are used in differential geometry is the main purpose of this thesis.This study consists of four main chapters that are differetiable manifolds and some basic concepts defined on differentiable manifolds, linear connections, Riemannian manifolds, tensor bundles and vector bundles.In the first part, preliminaries used in the next sections are given. Then, by introducing the concept of differentiable manifold, examples are given and tangent space, vector fields, curves, differentiable maps on this structure are examined.The definition of linear connection on a differentiable manifold is given in the second part. In addition, the condition of being a geodesic of a curve on a differentiable manifold is expressed with respect to a linear connection.Metric field on a differentiable manifold is defined in the third part. In addition to this, by expressing the the concepts of Riemannian metric, Riemannian manifold and Riemannian connection, it is shown that Riemannian connection is a torsion free and a metric connection. On the other hand, the theorems related to a curve to be a geodesic on a Riemannian manifold are given and some results have been obtained.In the last part, the notion of tensor bundles are examined and it is proved that this structure is a differentiable manifold. In addition, the concepts of vector bundles, frame bundles, principal fiber bundles are introduced briefly and the relationship between these structures and differentiable manifolds have been revealed.