Bazı kuvvet serilerinin aritmetik özellikleri ve belirli reel kuadratik sayı cisimlerinin temel birimleri

Abstract

Bu çalışmada, bazı kuvvet serilerinin aritmetik özellikleri ve belirli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerinin temel birimleri incelenmiştir. Bu tez çalışması beş bölümden oluşmaktadır.Birinci bölümde, Transandant Sayılar Teorisi ve Reel Kuadratik Sayı Cisimlerinin Temel Birimleri üzerine genel bir inceleme yapılmıştır.İkinci bölümde, Liouville Sayıları, Sayı Cisimleri, Temel Birimler ve Sürekli Kesirler ile ilgili temel tanım ve teoremler verilmiştir.Üçüncü bölümde, elde ettiğimiz özgün teoremlerimizin ispatı için kullanılan yöntemler özetlenmiştir.Dördüncü bölümde, ilk olarak belirli koşullar altında bazı rasyonel katsayılı kuvvet serilerinin bazı Liouville Sayıları argümanları için aldığı değerlerin ya bir Liouville Sayısı ya da bir rasyonel sayı olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, Richaud-Degert tipinde olmayan reel kuadratik sayı cisimlerinde kuadratik irrasyonel sayısının sürekli kesir açılımındaki periyodunun 7 olması durumunda, cisminin temel biriminin ve katsayıları ve kuadratik irrasyonel sayısının sürekli kesir açılımı kesin bir biçimde belirlenmiş ve özgün teoremler elde edilmiştir.Beşinci bölümde ise, elde edilen bulguların bir değerlendirmesi yer almaktadır.

In this study, arithmetic properties of some power series and fundamental units of certain real quadratic fields are investigated. This thesis consists of five chapters.In the first chapter, a general investigation about the Theory of Transcendental Numbers and the Fundamental Units of Real Quadratic Number Fields is presented.In the second chapter, main definitions and theorems about Liouville Numbers, Number Fields, Fundamental Units and Continued Fractions are given.In the third chapter, the methods which we used in order to prove our original teorems are summarized.In the fourth chapter, firstly it is shown that under certain conditions the values of some power series with rational coefficients for some Liouville number arguments belong to either the field of rational numbers or the set of Liouville numbers. Then, for all real quadratic fields except for Richaud-Degert type such that the period in the continued fraction expansion of the quadratic irrational number is equal to 7, , coefficients of the fundamental unit and the continued fraction expansion of the quadratic irrational number are determined explicitly and the original theorems are obtained.An evaluation of the results of this study is carried out in the fifth chapter