Bazı reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları ve cebirsel yapıları

Abstract

Bu tez çalışmasında, belirli tipteki reel kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayılarının,invaryant değerlere göre irdelenmesine bağlı olarak cebirsel yapıları anlatılmaktadır.Bu tez çalışması derleme niteliğinde olup, beş ana bölümden oluşmaktadır. Birincibölümde, tezin içerdiği konulara bir giriş yapılmaktadır.İkinci bölüm, on bir alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde; cebirsel sayı cisimleriile ilgili temel tanım ve kavramlar verilmektedir. İkinci alt bölümde; kuadratik sayı cismive bu cisimlerin tamlık halkası kavramları üzerinde durulmaktadır. Üçüncü alt bölümde;kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin genel ifadesi ve Richaut-Degert(R-D)tipinde olan reel kuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin biçimi ifadeedilmektedir. Bu bölümde imajiner kuadratik sayı cisimlerinin birimlerinin ve reelkuadratik sayı cisimlerinin temel birimlerinin nasıl belirlendi˘gi de açıklanmaktadır.Dördüncü alt bölümde kuadratik sayı cisimlerinin diskriminantı tanımlanmaktadır.Beşinci alt bölümde; kuadratik sayı cisimlerindeki `ideal` kavramı ifade edilmekte ve biridealin diskriminantının nasıl bulunacağı gösterilmektedir. Altıncı alt bölümde;`Legendre Sembolü`, `Jacobi Sembolü`, `Kronecker Sembol` ile `Kronecker Karakter`kavramları açıklanmakta ve bir p tek asalının ayrışımı üzerinde durulmaktadır. Yedincialt bölümde; kuadratik sayı cisimlerinin sınıf sayıları ele alınmakta ve `dar anlamdasınıf sayısı` ile `geniş anlamda sınıf sayısı` kavramları tanımlanmaktadır. Sekizinci altbölümde; sürekli kesirler incelenmekte, basit sürekli kesirler detaylı olarak ele alınıp konuile ilgili gerekli tanım ve teoremlere yer verilmektedir. Ayrıca bu bölümde sonlu sürekli kesirler ve rasyonel sayılar arasında birebir bir eşleme olduğu sonucu da verilmektedir.Dokuzuncu alt bölümde `sonsuz sürekli kesir` tanımı yapılmakta ve sonsuz sürekli kesirlerile irrasyonel sayılar arasında birebir bir eşleme olduğu sonucu verilmektedir. Onuncu altbölümde `periyodik sürekli kesir` kavramı tanıtılmakta ve kuadratik irrasyonel sayılar ileperiyodik sürekli kesir arasındaki ilişki teorem olarak verilmekle birlikte pür-periyodiksürekli kesirler de tanımlanıp bir kuadratik irrasyonel sayısının pür-periyodik olması içingerek ve yeter koşul verilmektedir. On birinci alt başlıkta Yokoi invaryant değerleri nd vemd ile ilgili teoremler verilmektedir. Ayrıca yine bu bölümde çeşitli periyot uzunluklarıiçin sürekli kesir açılımları, temel birimin şekli, sınıf sayısının hd = 1 olması için gerekve yeter koşullar ile sınıf sayısı hd = 1 veya hd = 2 olan reel kuadratik sayı cisimleriverilmektedir.Üçüncü bölüm, tez çalışması süresince faydalanılan kaynaklardan ve uygulananyöntemlerden oluşmaktadır.Dördüncü bölümde, genellikle (R-D) tipinde olmayan belirli tipteki reel kuadratik sayıcisimleri ele alınarak, wd kuadratik irrasyonel sayısının sürekli kesre açılımında periyodun7 olması halinde, temel birimin Td ve Ud katsayılarına bağlı olarak tanımlanmış olanYokoi invaryant değer nd yardımıyla nd = 0 için çıkarılabilecek sonuçlara yerverilmiştir. Bu sonuçları sağlayan sınıf sayısı 1 veya 2 olan kuadratik sayı cisimlerisürekli kesir açılımları ile birlikte tablolar halinde verilmiştir.Beşinci bölümde ise çalışmanın genel değerlendirmesi yapılmaktadır.

In this thesis, certain types of real quadratic number fields of class numbers, dependingon the evaluation according to the invariant value algebraic structures are explained.This thesis is a compilation work and consists of five main chapters. In the first chapter,an introduction to the subject in thesis has been given.The second chapter consists of eleven subsections. In the first subsection, basicdefinitions and concepts related to algebraic number fields are given. In the secondsubsection, it is focused on the quadratic number fields and concepts of the integralrings of these fields. In the third subsection, the real quadratic number fields of Richaut-Degert(R-D) type are defined and the general statement of the fundamental units of suchfields are given. It also explains how the fundamental units of imaginer and realquadratic number fields are determined. In the fourth subsection, the discriminant ofthe quadratic number fields is defined. In the fifth subsection, the concept of `ideal`in quadratic number fields is expressed and it is shown how to find the discriminant of aideal. In the sixth subsection, the concepts of `Legendre Symbol`, `JacobiSymbol`, `Kronecker Symbol` and `Kronecker Character` are explained and itfocuses on the decomposition of the odd prime number p. In the seventh subsection,the class numbers of the quadratic number fields are discussed and `narrow sense ofclass number` and `extended sense of class number` concepts are defined. In the eighthsubsection, continued fractions are examined and also simple continued fractions arehandled in detail and fundamental definitions and theorems related to the subject are given. Furthermore, the result that there is an one-to-one mapping between `finitecontinued fractions` and rational numbers is given. In the nineth subsection, `infinitecontinued fraction` is defined and the result that there is an one-to-one mappingbetween infinite continued fractions and irrational numbers is given. In the tenthsubsection, the concepts of `periodic continued fraction` and `pure-periodic continuedfraction` are defined. Moreover, the relationship between quadratic irrational numbers andperiodic continued fraction is given and also a necessary and sufficient condition is statedso that a quadratic irrational number can be pure-periodic. In the eleventhsubsection, the theorems related to the Yokoi invariant values nd and md are given.Furthermore, for various period lengths the continued fraction expansions, the form offundamental unit, the necessary and sufficient conditions for the class number hd = 1 andalso real quadratic number fields with class numbers hd = 1 or hd = 2 are given.The third chapter consist of utilized sources and the methods applied during the thesis.In the fourth chapter, certain real quadratic number fields which are not the type of R-Dare handled. There are some results that can be extracted for nd = 0 by using of Yokoiinvariant values nd, which is defined by the Td and Ud depending on coefficients of thefundamental unit, in the case that the period of the continuous fraction expansion of wdquadratic irrational number is equal to 7. Certain real quadratic number fields providingthese results, class number 1 or 2, are given in the form of tables.In the fifth section, a general assessment of the study is presented.