Fonksiyon uzaylarında bazı operatörlerin özellikleri

Abstract

Bu tez çalışmasında ilk olarak, ağırlıklı tek taraflı öteleme operatörlerinin bir sistemi tarafından üretilen $C^*$-cebirlerin yapısı incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar kullanılarak, bu $C^*$-cebirlerde yer alan sürekli sembollü Toeplitz operatörlerinin Fredholmluluğu için gerek ve yeter koşullar verilmiş ve bu sonuçların bir uygulaması olarak, bir sınıf integral denklemin çözülebilirliği elde edilmiştir. İkinci olarak, polidisk üzerindeki Hardy uzayında tek bir fonksiyon tarafından üretilen invaryant alt uzayların tam bir karakte/-rizasyonu verilerek, W. Rudin'in, ``Function theory in polydiscs'' kitabında verdiği ve bugün hala açık olan ``Polidisk üzerindeki Hardy uzayının tüm invaryant alt uzaylarının sınıflandırılması yada açık bir tanımının verilmesi'' problemi kısmi olarak cevaplanmış ve bu tür invaryant alt uzayların kapsama, eşitlik ve birimsel denklik gibi özellikleri incelenmiştir.

In this thesis firstly, the structure of the $C^*$-algebras generated by a system of weighted unilateral shifts is determined. Using the obtained results, some necessary and sufficient conditions for Fredholmness of Toeplitz operators with continuous symbol in these $C^*$-algebras are given and, as an application of the results, solvability of a class of integral equations is obtained. Secondly, giving a complete characterization of invariant subspaces generated by a single function in the Hardy space on the polydisc, a problem given by W. Rudin in his book ``Function theory in polydiscs'', stated as ``A classification or an explicit description of the structure of invariant subspaces in the polydisc'', which is still open, is partially answered. It is also examined some properties of this kind of invariant subspaces such as, inclusion, equality, unitarily equivalence.