On codes over an infinite family of ring extension of the binary field

Abstract

Son zamanlarda halkalar üzerine tanımlı kodlar araştırmacılar arasında ilgi odağı haline gelmiştir. Bu tez, ikili cismin halka genişlemesinin sonsuz bir ailesi üzerinde tanımlı kodlar üzerine bir çalışmadır. F_2+u F_2+...+u^k F_2 ve F_2+u F_2+v F_2+uv F_2 formundaki halkalar, R_(k,m) olarak adlandırdığımız ve F_2[u,v]/<u^k,v^m,uv=vu> şeklinde tanımladığımız bir halka ailesine genelleştirildi. Öncelikle, sonlu, değişmeli ve karakteristiği 2 olan R_(k,m) halka ailesinin yapısal özellikleri belirlendi. Ayrıca, bu halka ailesi üzerinde lineer kodlar tanımlandı ve R_(k,m) den F_2^km'e tanımlı, uzaklığı ve daha önemlisi dikliği koruyan bir Gray eşleme uygun bir Lee ağırlıkla birlikte bulundu.Bir kodun ve dualinin ağırlık dağılımlarının arasındaki ilişkiyi veren MacWilliams özdeşlikleri R(k,m) üzerine tanımlı kodların tüm ilgili ağırlık dağılımları için ispatlandı. Devirsel matrisler ve genişleme metodlarıyla elde edilen R_(k,m) üzerinde tanımlı self-dual kodların ikili görüntüsü alınarak yeni ikili self-dual kodlar inşa edildi. Ayrıca, R_(k,m) üzerinde tanımlı kodlar için homojen ağırlık karakterize edildi ve ilişkili bir Gray eşleme bulundu. Bu Gray eşleme kullanılarak bölünebilir, kendine dik yarı devirli optimal ikili kodlar elde edildi.

Codes over rings have recently been the center of interest amongst the researchers. In this thesis, we focus on codes over an infinite family of ring extension of the binary field. The rings of the form F_2+u F_2+...+u^k F_2 and F_2+u F_2+v F_2+uv F_2 are generalized to a family of rings that we call R_(k,m), where R_(k,m) is defined to be F_2[u,v]/<u^k,v^m,uv=vu>. The structural properties of the finite-commutative and characteristic 2 ring R_(k,m) are described. Linear codes over the ring R_(k,m) are defined and a Gray map that is distance preserving and more importantly orthogonality-preserving from R_(k,m) to F_2^km are found with the corresponding Lee weight. MacWilliams identities which give a relation between weight enumerators of a code and its dual are proved forcodes over R_(k,m) for all the relevant weight enumerators. Many binary self-dual codes as the Gray images of self-dual codes over R_(k,m) are constructed by combination of methods involving circulant matrices and extension methods. Moreover, the homogeneous weight for R_(k,m) was characterized usingtheoretical properties of the ring and an associated Gray map was found. Using this Gray map, many optimal binary codes that are divisible and self-orthogonal quasicyclic codes were obtained.