Zaman-frekans analizi ve bazı operatörler üzerine

Abstract

Zaman-frekans analizi harmonik analizin modern bir dalıdır. Zaman-freakans analizi,operatörler ve fonksiyonların analizi için zamana bağlı değişen zaman-frekans ötelemelerinikullanan matematiksel teknikler ve onun uygulamalarından oluşmaktadır. Zaman-frekansanalizi, zamana ve frekansa aynı anda ve simetrik davranan yerel Fourier analizinin birşeklidir.Fourier Dönüşümü ile zaman uzayında bulunan sinyaller frekans uzayına taşınarakyorumlanır. Ancak bu dönüşüm ile frekans ortamına aktarılan sinyallerde zaman bilgisikaybedilmektedir. Bu nedenle yöntem durağan olmayan sinyallerin analizi için yeterlideğildir. Bu eksikliği giderebilmek için araştırmacılar çeşitli yöntemler önermişlerdir. Buyöntemlerden biri kısa-zamanlı Fourier dönüşümüdür.Bu tezde, Fourier analizi ve zaman-frekans analizi incelendi ve karşılaştırıldı. Daha çokzaman-frekans analizi uzayında yoğunlaşıldı. Günümüzde zaman-frekans analizi çok önemliteknolojik uygulamalara sahiptir ve Fourier analizine göre daha üstündür.Tezin giriş kısmında klasik Fourier analizi ve temel özellikleri verildi. Fourier dönüşümütanıtılarak belirsizlik ilkeleri verildi.Genel kısımda ise zaman-frekans analizi tanıtıldı. Zaman-frekans analizine ait temeloperatör ve özellikleri verildi. Çerçeve teorisi, özellikle Gabor çerçevesi üzerinde çalışıldı.Son olarak Zak dönüşümü tanıtılarak özellikleri verildi. Ayrıca Zak dönüşümünün Fourierdönüşümü ve Gabor çerçevesi arasındaki ilişkileri verildi.

Time-frequency analysis is a modern branch of harmonic analysis which comprises of theoryand its applications of mathematical techniques using the translations and modulations toanalyze functions and operators. Time-frequency analysis is a form of local Fourier analysisthat threats time and frequency simultaneously and symmetrically.In classical Fourier Analysis, the signals on the time space are studied by transformingthem in to the frequency space. However, in the frequency space, some informations relatedto time is lost which makes analysis of non-stationary signals difficult. To overcome thisdeficiency, a variety of methods are proposed, one of which is a local form of Fourieranalysis, called the short-time Fourier transform.In this thesis, techniques of Fourier analysis and time-frequency analysis are examined andcompared. The thesis is concentrated mainly on time-frequency space. Today the theorytime-frequency analysis has important technological and scientific applications extendingthe known results on Fourier analysis.In the first part of the thesis classical Fourier analysis and its properties are given. Inparticular Fourier transform is introduced and uncertainty principles are given.In the second and main part of the thesis, time-frequency analysis is introduced and basicoperators togerther with their properties are given. Next frame theory, in particular Gaborframes are studied in connection with some key operators related to frames.Finally, Zak transform is introduced and its properties are given. In addition, the relationshipof Zak transform to Fourier transform and Gabor frames is studied.