Burgers denkleminin çözümüne bir varyasyonel yaklaşım

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, Burgers denkleminin tarihçesi sunulmaktadır. İkinci bölümde, konuyla ilgili temel tanım ve teoremler, denklem sistemlerinin çözümleri, zamanı ayrıştırma yöntemi ve en küçük kareler yöntemi verilmektedir. Üçüncü bölümde, Burgers denklemi ile ısı denklemi arasındaki ilişki göz önüne alınarak denklemin analitik çözümü verilmektedir. Dördüncü bölüm tezin orjinal kısmıdır. Bu bölümde, bir boyutlu non-lineer kısmi diferansiyel denklem olan Burgers denklemi, zamanı ayrıştırma yöntemi kulla nılarak p- tane non-lineer adi diferansiyel denkleme dönüştürülmüştür. Bu denklem lerden her biri bir varyasyonel yöntem olan en küçük kareler yöntemiyle çözülmüştür. Beşinci bölüm dördüncü bölümün nümerik sonuçlarına ayrılmıştır, e > 0.01 için değişik zaman adımlarında elde edilen nümerik çözümler ile analitik çözümler tablolar ve grafikler verilerek karşılaştırıldı. Bunların mükemmel uyum içinde olduk ları görüldü, e < 0.01 için küçük zaman adımlarında analitik çözüm çalışmamasına rağmen e = 0.00001 için küçük zaman adımlarında elde edilen nümerik çözümlerde problemin matematiksel yapısının bozulmadığı gösterilmiştir. ANAHTAR KELİMELER: Burgers Denklemi, Zamanı Ayrıştırma Yöntemi, En Küçük Kareler Yöntemi, Non-lineer Denklem Sistemlerinin Çözümünde Newton Yöntemi.

This thesis consists of five chapters. In chapter 1, the history of the Burgers' equation was presented. Chapter 2 was devoted to the presentation of the solutions of the systems of equations and the method of discretization in time and the least squares method and general concepts and theorems concerning with the subject. In Chapter 3, by considering the relation between Burgers' equation and heat equation the exact solution of the Burgers' equation was given. Chapter 4 is the original part of this thesis. In this chapter, Burgers' equation which is one dimensional nonlinear partial differential equation was converted to p nonlinear ordinary differential equations by using the method of discretization in time. Each of them was solved by the least squares method which is a variational method. Chapter 5 is devoted to the numerical results of Chapter 4. For e > 0.01 at different time steps, the obtained numerical solutions were compared with the exact visolutions by giving tables and graphs. It was seen that both of them were in excellent agreement. While the exact solution of the equation could not been computed for e < 0.01 at small time steps, it was shown that the mathematical structure of the problem for the obtained numerical solutions for e = 0.00001 at small time steps did not decay. KEYWORDS: Burgers' Equation, The Method of Discretization in Time, The Least Squares Method, The Newton Method for Solving Nonlinear Systems of Equ ations. vn