Korteweg-de Vries (KdV) denkleminin spilne baz fonksiyonları yardımıyla nümerik çözümleri

Abstract

ÖZETYüksek Lisans TeziKORTEWEG-de VRIES (KdV) DENKLEMİNİNSPLINE BAZ FONKSİYONLARI YARDIMIYLANÜMERİK ÇÖZÜMLERİMuharrem ÖZLÜKİnönü ÜniversitesiFen Bilimleri EnstitüsüMatematik Anabilim Dalı64 + ix sayfa2005Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Turabi GEYİKLİKorteweg-de Vries (KdV) denklemi farklı ï¬ziksel sistemlerde karşılaşılanönemli bir nonlineer kısmi diferansiyel denklemdir.Bu yüksek lisans tezinde KdV denkleminin B-spline fonksiyonları yardımıylasonlu eleman yöntemleri kullanılarak nümerik çözümleri incelendi.Tezin birinci bölümünde KdV denkleminin teorik altyapısı ele alındı.İkincibölümde sonlu eleman yöntemleri, spline ve B-spline fonksiyonları, Galerkinve Collocation yöntemleri ile KdV denkleminin korunum ilkeleri verildi. Son-raki bölümlerde KdV denkleminin Kuadratik ve Kübik B-spline fonksiyonlarıkullanılarak Galerkin yöntemiyle, Kuartik ve Kuintik B-spline fonksiyonlarıkullanılarak Collocation yöntemiyle nümerik çözümleri elde edildi. Sonuçlariönceki araştırmacıların elde ettiği nümerik sonuçlarla karşılaştırıldı. Uygulananyöntemlerin kararlılık analizleri von Neumann yöntemi ile yapıldı.Sonuç olarak B-spline fonksiyonları kullanılarak uygulanan Galerkin veCollocation yöntemlerinin yeterince iyi sonuçlar verdiği görüldü. Bu nedenlediğer nonlineer kısmi diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde B-splinefonksiyonlarının kullanılması önerilmektedir.Anahtar Kelimeler : Korteweg-de Vries, KdV, Sonlu Eleman Yöntemi,B-Spline, Galerkin, Collocation.ii

ABSTRACTMaster ThesisNUMERICAL SOLUTIONS OF THE KORTEWEG-deVRIES (KdV) EQUATION USING SPLINE BASEFUNCTIONSMuharrem ÖZLÜK,İnönü UniversityGraduate School of Natural and Applied SciencesDepartment of Mathematics64 + ix pages2005Supervisor : Assist.Prof. Turabi GEYİKLİThe Korteweg-de Vries (KdV) equation is an important partial diï¬er-ential equation which arises in the study of many physical systems.In this MSc. Thesis, numerical solutions of the KdV equation based onï¬nite element methods using B-spline functions are investigated.In the ï¬rst chapter of this thesis, theoretical background of the KdVequation is discussed. In the second chapter, ï¬nite element methods, spline andB-spline functions, Galerkin and Collocation methods and the conservationlaws for the KdV equation are given. In the following chapters, numericalsolutions of KdV equation are obtained with Galerkin and Collocation methodsusing Quadratic, Cubic, Quartic and Quintic B-spline functions. Computedresults are compared with the numerical results given by previous authors.iThe stability analysis of the numerical techniques based on von Neumanntheory is given.As a result, Galerkin and Collocation methods with B-spline functionsgive adequately good results. So it is recommended that B-spline functions canbe used for solving other nonlinear partial diï¬erential equations.Keywords: Korteweg-de Vries, KdV, Finite Element Method, B-Spline,Galerkin, Collocation.ii