Genelleştirilmiş çok eksensel simetrik potansiyel kuramının Helmholtz denklemleri için Dirichlet problemi ve bir elemanter çözüm

Abstract

ÖZET Bu çalışmanın amacı Genelleştirilmiş çok eksensel simetrik potan siyel kuramının Helmholtz denklemleri için bir Dirichlet problemi çözmek ve bir elemanter çözimı bulmaktır. Çalışma iki bölümden oluşur. Birinci bölümde m ı « r`1= Kn 32v + Vl 3v j.. °Wn 3v. ft °Wl mn i«l 3x^ xm+l 3xm+l *m+n 9xm+n denklemi için m+n boyutlu Euclidean uzayında çeyrek küre bölgesinde bir Poisson formülü oluşturuldu. Elde edilen Poisson integralinin aynı böl gede Dirichlet probleminin çözümü olduğu bir teoremle ispatlandı. (1) denklemine eksiltme (descent) yöntemi uygulanarak (2) T İ* + Vl J»L.+ >..+Vn 3u_ _ A2 u. 0 1=2 3x?j *m+1 8%+l xm+n 3xm+n denklemi için de aynı bölgede bir Dirichlet problemi çözüldü. İkinci bölümde (3) ?£g+UL!L + A*.0 1*1 ax?j xi 9Xi denkleminin dik koordinatlarda bir elemanter çözümü elde edildi. Bunun için değişkenlerin ayrılması yöntemi kullanılarak (3) denklemi adi dife- rensiyel denklemlere indirgendi. Bu denklemler uygun dönüşümler altında Bessel denklemlerine dönüştürüldü. Böylece Bessel fonksiyonları türünden bir elemanter çözüm elde edildi.

SUMMARY The purpose of this paper 1s to solve a Dirichlet's problem and find an elementary solution for Helmholtz's equations of generalized poly-axial ly symmetric potential theory. The paper contains two chapters. In the first chapter a Poisson's formula is constructed for the equation on the region of a quarter sphere in Euclidean space with dimension m+n. Then by a theorem it is proven that the Poisson's integral is a solution of Dirichlet's problem on the same region. Using method of «descent for the equation (1) a Dirichlet's problem is also solved on the same region for the equation (2) T A + Vl 3u_ +... + USÛL Ji_ -x2. 0 i=2 3x? xm+l 3xm+l xm+n 3xm+n In the second chapter an elementary solution is obtained in the cartesian coordinates for the equation (3) Z ( İ-Ş +:JL ^~ ) + Xw - 0 1-Î 9xj *i 3xi To do this, the equation (3) is reduced to some ordinary differential equations by the method of separation of variables. Then the ordinary differential equations are changed to the Bessel 's equations using some transformation formulas. Thus the solution is found in terms of Bessel functions.