Faber polinomları ve sıfırları

Abstract

IV ÖZET ` Faber Polinomları ve Sıfırları ` adlı bu çalışma üç bölümden oluşmaktadır. Diğer bölümlere hazırlık niteliğinde olan birinci bölümde Faber ve genelleştirilmiş Faber polinomlarının temel özellikleri hakkında bazı önemli tanım ve teoremler verilmektedir. İkinci bölümde, kompleks düzlemin m -katlı simetrik, dairesel yay ve halka dilimi gibi uygun alt bölgeleri için Faber polinomlarının elde edilişi ele alınmıştır. Bunun yamnda Faber polinomlarının sıfırlarını belli bir matrisin öz değerlerine bağlayan yeni bir determinant ifadesi verilerek, w -katlı simetrik bölgelere ait Faber polinomlarının sıfırlarının bulunması ile ilgili sayısal örnekler verildi. Çalışmamızın esas kısmını oluşturan üçüncü bölüme gelince, dönüşüm fonksiyonu elipsin odaklarına bağlı olarak ifade edilmiş ve farklı odaklı elipsler için Faber polinomları bulunmuştur. Buna ek olarak, genelleştirilmiş Faber polinomlarının sıfırları ile dönüşüm ve ağırlık fonksiyonu tarafından belirlenen Pn matrisinin özdeğerleri arasındaki ilişki ortaya konulmuş ve bunun sonucu olarak Faber polinomlarının türevlerinin sıfırlarının da Pn matrisleri yardımıyla elde edilebileceği gösterilmiştir. Son olarak, E bölgesinin m -katlı simetrik olması durumunda, g(z) ağırlık fonksiyonunun uygun bir seçimiyle, genelleştirilmiş Faber polinomlarının sıfırlarının kümesinin de ot -katlı simetrik olduğu sonucu gözlendi. Özel olarak, 3.2.2. Teoremde g(z) = l ve g(z) = <&'(z) alınırsa, sırasıyla. He M. [10] tarafından ispatlanmış 2.6.5. Teorem elde edilmekte ve Faber polinomlarının türevlerinin sıfırlarının kümesinin de m -katlı simetrik olduğu görülmektedir.

ABSTRACT This study entitled as ` Faber polynomials and theirs zeros ` consists of three chapters. In the first chapter which is a preliminary form to next ones, some important definitions and theorems concerning with the basic properties of Faber and generalized Faber polynomials were given. The Chapter 2 has seperated to be obtained Faber polynomials for some suitable subregions of complex plane as m - fold symmetric domains, circular lunes and annular sectors. Moreover, we derived a new determinant representation which relates the zeros of Faber polynomials to the eigenvalues of a certain matrix, and illustrated some numerical computations and various examples to find the zeros of Faber polynomials associated with m - fold symmetric domains. When it comes to chapter 3 that is main part of our study, it was expressed mapping function in terms of the focus of ellips and Faber polynomials were obtained for ellips with different focus. In addition, the relation between the zeros of generalized Faber polynomials and eigenvalues of Pn matrix has brought out and as result of this, it has been shown that the zeros of derivative of Faber polynomials can also be found using Pn matrix. Finally, the theorem as expressed with `If E is m -fold symmetric domain, then the set of zeros of generalized Faber polynomials are also m -fold symmetric` was proved with suitable choosing of the weighted function g(z). In particular, if we choose g(z) = 1 and g(z) = O'fc) in the Theorem 3.2.2, then it will be obtained Theorem 2.6.5 that has been proved by He M. [10] and it will be shown that the set of the zeros of derivatives of Faber Polynomials was m-fold symmetric too, respectively.