Değişken üstlü lebesgue ve sobolev uzaylarında gömme tipli eşitsizlikler

Abstract

ÖZET Bu tezde, değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarında gömme tipli eşitsizlikler olan Sobolev ve ağırlıklı Hardy eşitsizlikleri elde edilmiştir. Ök bölüm giriş niteliğinde olup, bu bölümde değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarının çıkış noktası ve fiziksel motivasyonu ile günümüze kadar yapılan çalışmalar kısaca ele alınmıştır. Tezde kullanılan temel bilgiler ve değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarına temel teşkil eden uzaylar ikinci bölümde verilmiştir. Üçüncü bölümde, değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzayları Teorisi verilmiş ve bu uzaylarda özellikle çalışma konumuzla ilgili sonuçlar üzerinde durulmuştur. Değişken üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarında ölçülebilir fonksiyonlar için Sobolev tipli eşitsizlik ve kesirli maksimal fonksiyon ile Riesz potansiyel operatörü arasındaki ilişkiden yararlanarak, kesirli maksimal fonksiyon için Sobolev tipli eşitsizlik dördüncü bölümde ispatlanmıştır. Beşinci bölümde, değişken üstlü Lebesgue uzayında gömme teoremlerinin elde edilmesi için vazgeçilmez bir araç olan Hardy tipli eşitsizliklerle ilgilenilmiştir. Bu bölümde, değişken üstlü Lebesgue uzaylarında Hardy Eşitsizliği global log-Hölder süreklilik koşulu altında ve kuvvet tipli Hardy eşitsizliği ise test fonksiyonunun tanım bölgesinde tanımlı değişken üstlerin regülerlik koşulu ve bu üslerin şuurdaki değerleri cinsinden ifade edilmiş global log-Hölder süreklilik koşulu altında elde edilmiştir. Son olarak, ağırlık fonksiyonlarının davranışları incelenerek ve değişken üstlerin şuurdaki değerleri ve ağırlık fonksiyonları cinsinden ifade edilmiş global-Hölder süreklilik koşulu altında genelleştirilmiş Hardy eşitsizliği son bölümde ispatlanmıştır.

M SUMMARY In this thesis, the inequalities of embedding type, Sobolev and weighted Hardy type inequalities, are obtained in Lebesgue and Sobolev space with variable exponent. In the first chapter, as an introduction chapter, the exit point and physical motivation of Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent, and the studies that have been carried out up to now are briefly dealt with. The basic information used in the thesis and the spaces forming the basis of Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent are presented in the second chapter. In Hie third chapter, theory of Lebesgue and Sobolev space with, variable exponent is given, and in these spaces, especially the results about our studies are taken up. We proved Sobolev type inequality for measurable functions in Lebesgue and Sobolev spaces with variable exponent and Sobolev type inequality for fractional maximal function by making use of the relation between fractional maximal function and Riesz potential operator in the fourth chapter. In the fifth chapter, we were interested in Hardy type inequality, which is an indispensable tool for getting embedding theorems Lebesgue space with variable exponent. In this chapter, we obtained Hardy type inequality under the global log-Hölder continuity condition and also power type Hardy inequality under regularity condition of variable exponents defined in the domain of test function and the global log-Hölder continuity condition which is expressed in terms of boundary value of these exponents in Lebesgue spaces with variable exponent. Finally, we proved generalized Hardy inequality by investigating behaviors of weight functions and under the global log-Hölder continuity condition which is expressed in terms of boundary value of variable exponents and weight functions in the last chapter.