Sobolev uzaylarının temel özellikleri ve geometrik yorumları

Abstract

Bu çalısma sekiz bölümden olusmaktadır.Birinci bölümde, sobolev uzaylarını tanımlamak için kullanılacak olan temelgösterim kavram ve teoremler verilmektedir.?kinci bölümde, Sobolev uzaylarını karakterize etmekte kullanılan en önemliaraçlardan biri olan zayıf türev kavramından bahsedilmektedir.Üçüncü bölümde, fonksiyonel analizde kullanılan çok önemli bir araç olanSobolev uzaylarının tanımları ve özellikleri ile birlikte bazı temel sonuçlar ifadeedilmektedir.Dördüncü bölümde, Sobolev uzaylarının bir karakterizasyonu Fourier Transformyardımı ile ifade edilmektedir.Besinci bölümde, Sobolev uzaylarının Kısmi Diferansiyel Denklemler de sınırkosullarının çözümünde kullanım alanı olan ?z teoreminden bahsedilmektedir.Altıncı bölümde, Sobolev uzaylarının matematiksel özelliklerini anlamada çokönemli bir uygulama alanı olan Gömülme teoremleri ve Sobolev esitsizlikleri ortayakonulmaktadır.Yedinci bölümde, bir önceki kısımda verilen gömülme teoremlerinin bazıdurumlarda niçin kompakt olması gerektiği ele alınmaktadır.Son olarak sekizinci bölümde, Sobolev uzaylarında tanımlı fonksiyonların verilenbölgenin sınırına kısıtlamasının ne anlama geldiği anlatılmaktadır.

This study consists of eight chapters.In the first chapter, in order to discuss the theory of Sobolev spaces we shall startwith some simple basic notions that are necessary for introducing and studying thesespaces.In the second chapter, we introduce the concept of weak derivative that is a maintool to define the Sobolev spaces.In the third chapter, we review definitions and properties of Sobolev spaces,which are indispensable for the functional analysis.In the fourth chapter, we give a Characterization of Sobolev spaces via theFourier transform.In the fifth chapter, some results are easier to prove over the whole of ?n ; toprove them for extend the setting from to ?n , then restrict it back again to .In the sixth chapter, it is given the embedding theorems and Sobolev inequalities whichare important areas to understand the mathematical properties of Sobolev spaces.In the seventh chapter; even better, some of the inclusions of Sobolev spaces intoother spaces are compact (in the functional analysis sense).Finally in the eigth chapter, It is important to understand what is meant byrestricting a Sobolev function to the boundary of the domain.