Doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin matematiksel davranışı

Abstract

Bu tezin ilk bölümünde davranışları çalışılacak olan denklemlerin tarihi gelişimleri ve bu denklemlerle ilgili literatür çalışmasına yer verilmiştir.İkinci bölümde tez boyunca kullanılacak olan temel tanım, teorem ve lemmalar hakkında bilgi verilmiştir.Üçüncü bölümde bu tezde kullanılan metotlardan ilki olan potential well metodu anlatılmış, bu metotla ilgili literatür çalışmasına yer verilmiş ve metodun uygulandığı bir denklemin davranışı (global varlık ve blow up) ele alınmıştır.Dördüncü bölümde tezde kullanılan ikinci metot olan durağan faz (stationary phase) metoduna değinilmiştir.Beşinci bölümde altıncı mertebeden sadece uzamsal türevler içeren iyi Boussinesq-tipli bir denklem için lokal, global varlık ve blow up incelenmiş, ayrıca altıncı mertebeden sadece uzamsal türevler içeren kötü Boussinesq-tipli bir denklem için de çözümlerin blow up'ı verilmiştir.Altıncı bölümde iyi Boussinesq-tipli altıncı mertebeden bir denklem için çözümlerin global varlığı üstkritik başlangıç enerjili durum için potential well metodu yardımıyla incelenmiştir.Yedinci bölüm ise, kötü Boussinesq-tipli bir denklem için çözümlerin lokal, global varlığını ve azalmasını (decay) içermektedir. Çözümlerin davranışı durağan faz (stationary phase) metodu yardımıyla çalışılmıştır.

In the first chapter of this thesis historical development of the equations which will be investigated in the next chapters, and relevant literature are given.In the second chapter, basic definitions, theorems and lemmas that will be used throughout the thesis are given.In the third chapter, the first method used in this thesis, the potential well method, is explained and related literature is given. Moreover, global existence and blow up of solutions of a problem is given by aid of this method.In the fourth chapter, the second method of the thesis, namely stationary phase method is mentioned.In the fifth chapter, local and global existence and blow up is investigated for a purely spatial sixth order good Boussinesq-type equation by potential well method. Moreover, blow up of solutions is given for a purely spatial sixth order bad Boussinesq-type equation.In the sixth chapter, a sixth order Boussinesq-type equation with supercritical initial energy is investigated by aid of potential well method.The seventh chapter contains local and global existence and decay of solutions for a bad Boussinesq type equation. The behavior of solutions is studied by stationary phase method.