Darboux dönüşümleri için genel bir yaklaşım

Abstract

Darboux dönüşüm, bir diferansiyel denkleme benzer bir diferansiyel denklemin çözümü biliniyorsa, bu diferansiyel denklem için bir çözüm üreten matematiksel bir yöntemdir. İntegral operatörü sonlu rank perturbasyonu tarafından değiştirildiği zaman, çözümdeki değişimi perturbasyona uğramamış terimler cinsinden açık bir şekilde hesaplanmaktadır. Bu metod, çekirdeği ve homojen olmayan terimi çakışık olan bir lineer integral denkleminin çözümünü kullanmaktadır. Elde edilen sonuçlar, lineer olmayan Schrödinger denkleminin kesin çözümünü elde etmek için kullanılmaktadır.

A Darboux transformation is a mathematical procedure to produce a solution of a differential equation when the solution of a related differential equation is known. When a integral operator is perturbed by a finite-rank perturbation, we explicitly evaluate the change in the solution in terms of the unperturbed quantities. This method uses the solution to a linear integral equation where the kernel and nonhomogeneous terms coincide. We apply our result to obtain exact solution to the nonlinear Schrödinger equation.