Crank-Nicolson sonlu fark yöntemine bağlı Strang parçalama (Splitting) metodu ile Burgers` denkleminin sayısal çözümleri

Abstract

Dört bölümden oluşan bu tez çalışmasında, Crank-Nicolson sonlu fark yöntemine bağlı Strang parçalama (splitting) metodu ile 1-boyutlu Burgers' denkleminin sayısal çözümleri incelenmiştir.Birinci bölümde 1-boyutlu Burgers' denklemi hakkında literatürün bir özeti verilmiştir.İkinci bölümde sonlu fark yöntemleri ve Taylor seri açılımı incelendi. Taylor seri açılımını kullanarak sonlu fark formülleri sunuldu. Burgers' denkleminin Crank-Nicolson sonlu fark yaklaşımı verildi. Hopf-Cole dönüşümü kullanarak 1-boyutlu Burgers' denkleminin iki model problem için analitik çözümleri sunuldu. Üçüncü bölümde parçalama (splitting) yöntemi hakkında bilgi verildi. Buna bağlı Lie-Trotter ve Strang parçalama (splitting) metotları açıklanmış ve bu yöntemlerin yerel hataları sunulmuştur. Sonlu fark yöntemleri için lineerleştirme teknikleri sunulmuştur.Dördüncü bölümde farklı lineerleştirme teknikleri ile Crank-Nicolson sonlu fark yaklaşımına bağlı Strang parçalama yöntemi kullanılarak model problemlerin sayısal çözümleri elde edildi. Sayısal çözümler analitik çözümlerle karşılaştırıldı.

In this thesis, the numerical solutions of the 1-dimensional Burgers' equation obtained by Strang splitting method based on Crank-Nicolson finite difference scheme have been analyzed in four chapter.In the first chapter, a summary of the literature about 1-dimensional Burgers' equation has been given.In the second chapter, finite difference methods and Taylor series expansion are examined. Using the Taylor series expansion, the finite difference formulations are presented. Crank-Nicolson finite difference approach of the Burgers equation has been given. The analytical solution of the 1-dimensional Burgers' equation for two model problems has been obtained by using Hopf-Cole transformation. In the third chapter, the Lie-Trotter and Strang splitting methods have been explained and their local errors have been presented. Differen lineerization technique has been presented for finite difference methods.In the fourth chapter, the numerical solutions of the model problems have been obtained by using Strang splitting method based on the Crank-Nicolson finite difference method and different lineerization technique. The numerical solutions have been compared with analytical solutions.