Bazı grup ve monoid yapıları için karar verme problemleri ve büyüme serileri

Abstract

Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tezin içindeki temel konular ile ilgili genel bilgiler verilmiştir. İkinci bölümde, ilk olarak grup, monoid ve yarı grupların sunuşları ile ilgili hatırlatmalar yapılmış ve grup genişlemeleri üzerinde genel bilgiler kısaca verilmiştir. Daha sonra, karar verme problemleri ile ilgili bilgi verilip, kelime probleminin çözümünde önemli bir metot olan yeniden yazma sisteminden bahsedilmiştir. Son olarak ise, sonsuz cebirsel yapılar üzerinde önemli bir çalışma alanı olan büyüme serilerine yer verilmiştir.Üçüncü bölümde, çapraz çarpım ve onun cebirsel özellikleri ile ilgili bilgiler verilmiştir. Bir sonraki aşamada ise, sonlu ve sonsuz grupların kombinasyonu ile oluşturulan dört grup sunuşunun monoid sunuşları düşünülerek çapraz çarpım için tam yeniden yazma sistemi elde edilip elemanlarının normal formunun yapısı belirlenmiştir. Daha sonra elde edilen normal formlar kullanılarak bu yapılar için büyüme serileri hesaplanmıştır.Dördüncü bölümde, yeni bir çarpım, iki-yanlı çapraz çarpım, tanımlanmış ve bu çarpımın hangi koşullar altında grup tanımladığı belirtilmiştir. Ayrıca sonlu devirli gruplar üzerinde bu yeni çarpımın sunuşu düşünülerek yeniden yazma sistemi, normal formu ve büyüme serileri elde edilmiştir. Son bölümde, önceki bölümlerde elde edilen sonuçların bir değerlendirmesi yapılmıştır.

This thesis consists of five main chapters. In the first chapter, it has been given general information about topics of this thesis. In the second chapter, firstly, it has been recalled group, monoid and semigroup presentations and then given some information on group extensions. Later, it has been given information on decision problems and discussed complete rewriting system which is one of the important method in solvability of the word problem. Finally, it has been informed about growth series which is one of the important work field on infinite algebraic structures.In Chapter 3, it has been given some information about crossed product and its algebraic properties. Then, by considering monoid presentations of four group presentations which created with combination of finite and infinite groups, it has been obtained complete rewriting system and determined the structure of the normal form of its elements. Later, by using these obtained normal forms, it has been computed growth series of these products.In Chapter 4, it has been defined a new product, called two-sided crossed product, and then given necessary and sufficient conditions for this new product to be a group. Moreover, by considering presentation of this new product of finite cyclic groups, it has been obtained complete rewriting system, normal form and growth series.In the last chapter, the results which are obtained from previous chapters have been summarized.