Lineer olmayan Schrödinger Denklemi için bir optimal control problemi

Abstract

Bu tezde, lineer olmayan kısımda kompleks katsayı olan Schrödinger denklemi için bir optimal kontrol problemi ele alınmıştır. İlk bölümde optimal kontrol teorisi hakkında genel bir bilgi verildikten sonra, ikinci bölümde tezde kullanılan teoremler, lemmalar ve bazı matematiksel kavramlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, ele alınan optimal kontrol probleminin oluşturulması için gerekli olan sınır değer problemi, amaç fonksiyoneli ve olası kontroller kümesi verilmiştir. Bu çalışmada olası kontroller kümesi, ölçülebilir karesel integrallenebilir fonksiyonlar uzayıdır. Ayrıca, bu bölümde sınır değer probleminin çözümünün varlık ve teklik teoremi verilmiştir. Dördüncü bölümde, ilk olarak optimal kontrol probleminin çözümünün varlığı ve tekliği gösterilmiş, amaç fonksiyonelinin Frechet diferansiyellenebilir olduğu elde edilmiş ve gradyenti bulunmuştur. Son olarak, optimal kontrol probleminin çözümü için varyasyon eşitsizliği biçiminde bir gerek şart elde edilmiştir. Beşinci bölümde ise bu tezin önceki çalışmalardan farklılığı vurgulanmıştır.

In this thesis, an optimal control problem for the nonlinear Schrödinger equation that has a complex coefficient in nonlinear part is considered. In the first chapter, after giving a general information about the optimal control theory, in the second chapter, theorems, lemmas and some mathematical concepts used in this thesis are presented. In the third chapter, firstly, a boundary-value problem, the cost functional and the set of probable controls required for the constitution of the considered optimal control problem is given. In this thesis, the set of probable controls is a space of measurable square integrable functions. Also, in this section, the theorem of existence and uniqueness of the solution of the boundary value problem is given. In the fourth chapter, firstly, the existence and uniqueness of the solution of the optimal control problem is shown, secondly, Frechet differentiability of the cost functional is obtained and its gradient is finded. Finally, a necessary condition in variational inequality form for the solution of optimal control problem is obtained. In fifth chapter, it is emphasized that this thesis is different from the former studying.