c0 üzerinde eşdeğer norm aileleri ve sabit nokta teorisi

Abstract

Yansımayan Banach uzaylarının sabit nokta teorisine (SNT'ye) sahip olup olmadığı veya sahip olmayanların SNT'ye sahip olacak şekilde yeniden normlanması literatürde yakın zamanda ilgi odağı olmuş ve sıkça yer almıştır. Gerçekten de iyi bilinen yansımayan Banach uzaylarından biri olan l^1'in sabit nokta teorisine sahip olmadığı fakat zayıf sabit nokta teorisine sahip olduğu gösterilmiştir. Bir diğer iyi bilinen ve l^1 ile ortak bir çok özelliğe sahip fakat Schur özelliği gibi l^1 kadar etkin araçlara sahip olmayan yansımayan Banach uzayı c_0 için analog sonuçlar Maurey tarafından gösterilmiştir. Yakın zamanda çok önemli bir sonuç olarak P. K. Lin tarafından l^1 'in genişlemeyen fonksiyonlar için SNT'ye sahip olacak şekilde yeniden normlanabileceği gösterilmiştir. Bu sonuca ulaşırken, Goebel ve Kuczumow'un teoreminden esinlenilmiştir öyle ki Goebel ve Kuczumow'un teoreminde l^1 içinde SNT'ye genişlemeyen fonksiyonlar için sahip olan zayıf* kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıfın varlığı gösterilmiştir. P. K. Lin'in sonucunun c_0-analoğu halen açık olup bu önemli sorunun çözümüne ilk adımları sağlayabilmesine imkan tanıyacak olması sebebiyle Goebel ve Kuczumow'un sonucunun bir eşdeğer norm ile c_0-analoğunu çalışmakta büyük önem arz etmektedir. Bu amaçla öncelikte bu tez çalışmasında P. K. Lin'in çalışmasının c_0-analoğunu incelemek amacıyla Goebel ve Kuczumow teorisinin bir eşdeğer norm ile c_0-analoğu afinlik koşulu altında araştırılmıştır. Yani, tez çalışmasında c_0 üzerinde tez danışmanı tarafından tanımlanmış bir eşdeğer norm ∥⋅∥ vasıtasıyla c_0'da zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıfın afin ∥⋅∥-genişlemeyen fonksiyonlar için SNT'ye sahip olduğu gösterilmiştir. Hatta görülmüştür ki bu sınıflar uzayımızın bilinen normu ∥⋅∥_∞ normuna göre bazı c_0-toplam baz dizilerinin kapalı konveks kabuğu olup Lennard ve Nezir tarafından 2011'de yapılan çalışmaya göre herhangi c_0-toplam baz dizisinin kapalı konveks kabuğu afin ∥⋅∥_∞-genişlemeyen fonksiyonlar için SNT'yi bozar. Daha sonra ise bu tanımlanan eş değer norma göre P. K. Lin'in sonucunun c_0-analoğuna pozitif cevabın fonksiyonların afin ∥⋅∥-genişlemeyen olması durumunda verilebileceği gösterilmiştir. Yani, c_0 üzerinde bir eşdeğer norm ∥⋅∥ 'un bulunabileceği öyleki bu norm için c_0 içinde boş olmayan her kapalı, sınırlı, konveks E alt kümeleri üzerinde tanımlı her afin ∥⋅∥-genişlemeyen U:E→E fonksiyonunun E'de bir sabit noktası vardır. Tanımlanmış olan bu eşdeğer norm aşağıdaki şekilde verilmektedir: ∀x=(ξ_k )_k∈c_0 için‖x‖≔lim_(p→∞) sup_(k∈N) γ_k (∑_(j=k)^∞ ξ_j ^p/j^2 )^(1/p) öyle ki burada γ_k ↑_k 3 ve ∀k∈N için γ_k>2 olmak üzere γ_k azalmayan. Son olarak ise bu sonuç daha da genelleştirilerek şu genel sonuç verilmiştir: ρ(⋅) normu c_0 üzerinde aşağıdaki koşulu sağlayan bir eşdeğer norm olsun: Sıfıra zayıf yakınsayan her (x_n )_n dizisi ve her x∈c_0 için limsup_n ρ(1/n ∑_(m=1)^n x_m+x)=limsup_n ρ(1/n ∑_(m=1)^n x_m )+ρ(x)dir. Bu durumda her λ>0 için c_0 üzerinde tanımlanan ∥⋅∥_ρ=ρ(⋅)+λ∥⋅∥ eşdeğer norm ailesine göre c_0 Banach uzayı afin ∥⋅∥_ρ-genişlemeyen fonksiyonlar için SNT'ye sahiptir.

In literature, it has been a wide research subject for fixed point theory researchers to investigate whether or not any nonreflexive space has the fixed point property (FPP) or if these spaces can be renormed to have FPP. Indeed, as a well-known nonreflexive Banach space l^1, it has been showed that l^1 fails FPP whereas it has the weak fixed point property. Maurey proved the analogous result for c_0, another well-known nonreflexive Banach space sharing many common properties with l^1 while c_0 does not offer as many tools like Schur property as l^1 does. Recently, as a significat development, it is proved by P. K. Lin that l^1 can be renormed to have FPP for nonexpansive mappings. While reaching this result, it was inspired a lot by Goebel and Kuczumow's theorem which showed that a large class of closed, bounded, convex (c.b.c.), non-weak*-compact subsets of l^1 has FPP for nonexpansive mappings. c_0-analogue of P. K. Lin's result is still open but aiming to obtain c_0-analogue of Goebel and Kuczumow's theorem with an equivalent norm is also very important since it is the first stage of the study directed towards the problem, c_0-analogue of Lin's theorem about l^1. For this goal, in this thesis study, first of all, positive answer is given for the problem about c_0-analogue of Goebel and Kuczumow's theorem with an equivalent norm that is constructed by thesis supervisor Nezir, under affinity assumption; that is, in this thesis study, it is shown that an equivalent norm ∥⋅∥ on c_0 can be found such that there exist non-weakly compact c.b.c. subsets that have FPP for affine ∥⋅∥-nonexpansive mappings. In fact, it is seen that the examples used are closed, convex hulls of some asymptotically isometric (ai) c_0-summing basic sequences respect to ∥⋅∥_∞ norm whereas in 2011 it is shown by Lennard and Nezir that the closed, convex hull of any ai c_0-summing basic sequence fails FPP for affine ∥⋅∥_∞-nonexpansive mappings. Next, using that renorming which is also given below, positive answer for c_0-analogue of P. K. Lin's result is given in our study if functions are affine ∥⋅∥-nonexpansive. That is, we show that there exists an equivalent norm ∥⋅∥ on c_0 such that for every closed, bounded, convex (non-empty) subset E of c_0 with associated norm ⋅, every affine nonexpansive mappings U:E→E, U has a fixed point in E. We verify this using our norm given by ∥x∥:=lim_(p→∞) sup_(k∈N) γ_k (∑_(j=k)^∞ ξ_j ^p/j^2 )^(1/p) where γ_k ↑_k 3,γ_k is strictly increasing with γ_k>2, ∀k∈N,∀x=(ξ_k )_k∈c_0. Finally, we generalize this result and show that if ρ(⋅) is an equivalent norm to the usual norm on c_0 such that limsup_n ρ(1/n ∑_(m=1)^n x_m+x)=limsup_n ρ(1/n ∑_(m=1)^n x_m )+ρ(x)for every weakly null sequence (x_n )_n and for all x∈c_0, then for every λ>0, c_0 with the norm ∥⋅∥_ρ=ρ(⋅)+λ∥⋅∥ has the FPP for affine ∥⋅∥_ρ-nonexpansive self-mappings.