Lebesgue integrallenebilir fonksiyonların Banach uzayının analoglarında sabit nokta teorisi

Abstract

Goebel ve Kuczumow göstermiştir ki mutlak toplanabilir skaler dizilerin Banach uzayı l1'de genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf vardır. Bu gerçekten esinlenerek, Lin l1'in genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayacak şekilde yeniden normlanabileceğini ispatlamıştır. Lin bu çalışması yansımayan Banach uzaylarının bazılarının genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayacak şekilde yeniden normlanabileceğine dair ilk örneği olmuştur. Araştırmacıların daha fazla örneklerin olup olamayacağı konusunda ilgisi bulunmaktadır. Maria ve Hernandes Lineares ise [0,1] aralığı üzerinde Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar uzayı L1[0,1]'in afin genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisinin sağlanacak şekilde yeniden normlanabileceğini göstermiştir. Fakat Goebel ve Kuczumow analojisinin bu uzay üzerine bir incelemesi yapılmamıştır. Ayrıca, Nezir ve Sivek'in son çalışmalarında L1[0,1]'in bir analoğu olan Lorentz fonksiyon uzayları Lw,1[0,1]'i incelenmiştir. Çalışmalarında Alspach'ın L1[0,1]'in zayıf sabit nokta teorisini sağlamadığını gösterdiği gibi Lw,1[0,1]'in de zayıf sabit nokta teorisini sağlamadığını gösterilmişdir. Bu tez çalışmasında öncelikle gösterilmektedir ki L1[0,1] içinde genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan çok geniş bir sınıf vardır. Tez çalışmasının sonraki bölümünde ise Lw,1[0,1] üzerinde incelemeler yapılmaktadır ve gösterilmektedir ki Lw,1[0,1] içinde afin genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan çok geniş bir sınıf vardır.

Goebel and Kuczumow showed that there exists a very large class of closed, bounded, convex subsets in Banach space of absolutely summable scalar sequences, l1 with fixed point property for nonexpansive mappings. Inspired by their facts, later, Lin proved that l1 can be renormed to have the fixed point property for nonexpansive mappings. His example was the first example of a nonreflexive Banach space which can be renormed to have the fixed point property. Researchers wonder whether or not there exist more examples. Maria and Hernandes Lineares showed that Banach space of Lebesgue integrable functions on [0,1], L1[0,1] can be renormed to have fixed point property for affine nonexpansive mappings. However, there was no investigation for Goebel and Kuczumow's analogy of this space. Furthermore, recently, by Nezir and Sivek, Lorentz function spaces Lw,1[0,1] which is an analogue of have been investigated. In their study, fixed point theory oriented results have been obtained. It is showed by them that these spaces also fail the weak fixed point property as Alspach proved L1[0,1] fails the weak fixed point property. In this thesis study, firstly, it is shown that there exists a very large class of closed, bounded, convex subsets in L1[0,1] with fixed point property for nonexpansive mappings. Next, Lorentz function spaces Lw,1[0,1] are studied and it is shown that there exists a large class of closed, bounded and convex subsets of Lw,1[0,1] with fixed point property for affine nonexpansive mappings.