Lorentz ve Lorentz-Marcinkiewicz uzaylarında Riesz açı hesaplamaları ve uzayların asimtotik genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisi odaklı incelemesi

Abstract

Bu tez çalışması sabit nokta teorisi odaklı üç farklı konudan oluşmaktadır. Birinci araştırma konusu olarak Lorentz fonksiyon uzaylarında Riesz açı hesabı yapılmaktadır. Dolayısıyla sayma ölçüsüne geçildiğinde tez danışmanı Nezir'in doktora tezinde yer alan Lorentz-Marcinkiewicz Banach uzayları için Riesz açı hesabı doğrulanmıştır. İyi bilinmektedir ki Banach uzayın zayıf sabit nokta teorisine sahip olup olmadığını doğrulamak için Riesz açı hesabı kullanılan metodlardan birisidir. Tez çalışmasının ilk araştırma bölümünde bu amaçla Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar uzayı L_1[0,1]'in bir analoğu olan Lorentz fonksiyon uzayı L_(w,1)[0,1]'ın önduali L_(w,1)^0[0,1] Banach uzayının içinde çok geniş sonsuz boyutlu bir altuzayının hangi skaler w için zayıf sabit nokta teorisine sahip olacağını görmek için Riesz açı hesabı yapılmaktadır. Çalışmanın ikinci araştırma konusunda ise [0,1] aralığı üzerinde tanımlı Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar uzayı L_1[0,1] içinde afin asimtotik genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan çok geniş bir sınıfın varlığı sorgulanmaktadır. Unutulmamalıdır ki Goebel ve Kuczumow tarafından gösterilmiştir ki mutlak toplanabilir skaler dizilerin Banach uzayı l^1'de genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf vardır. 2004'de ise Kaczor ve Prus tarafından görülmüşdür ki l^1'de afin asimtotik genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf vardır. Dolayısıyla tez çalışmaında Kaczor ve Prus çalışmasının L_1[0,1]-analoğu araştırılmaktadır. Tez çalışmasının üçüncü araştırma konusu olarak ise Lorentz dizi uzayları l_(w,1) içinde kapalı, sınırlı, konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf üzerinde tanımlı sağa kaydırma fonksiyonu için sabit noktası olmayan bir düzgün Lipschitz fonksiyonu olması için üst sınır değerlendirmesi yapılmaktadır. İyi bilinmektedir ki Dowling, Lennard ve Turett göstermiştir ki eğer bir Banach uzayı l^1'in bir izomorfik kopyasını içeriyorsa düzgün Lipscitz fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olamaz. Dolayısıyla tez çalışmasında Lorentz-Marcinkiewicz dizi uzayları l_(w,1) içinde kapalı, sınırlı, konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıfın sabit nokta teorisini sağa kaydırma fonksiyonu ile bozması için bu fonksiyonun hangi koşulda düzgün Lipschitz olacağı araştırılmaktadır.

This thesis study involves three research subjects oriented fixed point theory. As the first research subject, Riesz angle computations in Lorentz functions space are done. Thus, by passing to counting measure, Riesz angle computations for Lorentz-Marcinkiewicz spaces which were investigated in the Ph.D. thesis of Nezir who is the supervisor of this thesis study are verified. It is well-known that computing Riesz angle is one of the tools to confirm if a Banach space has weak fixed point property. Therefore, for this goal, in the first research part of the thesis study, Riesz angle for a large infinite dimensional subspace of L_(w,1)^0[0,1], predual of Lebesgue integrable functions space L_1[0,1] analogue space L_(w,1) [0,1], is computed to check for which w, the subspace can have the weak fixed point property. In the second research subject of the thesis study, it is questioned that whether or not there exists a very large class of closed, bounded, convex subsets in Lebesgue integrable functions defined on [0,1], L_1[0,1], with fixed point property for affine asymptotically non-expansive mappings. It should not be forgotten that it is showb by Goebel and Kuczumow that there exists a very large class of closed, bounded, convex subsets in Banach space of absolutely summable scalar sequences, l^1 with fixed point property for nonexpansive mappings. In 2004, it is investigated by Kaczor and Prus if similar result could be done for asymptotically nonexpansive mappings and it is seen that there exists a large class of closed, bounded, convex subsets in l^1 with fixed point property for affine asymptotically nonexpansive mappings. Hence, in this thesis study L_1[0,1]-analogue of Kaczor and Prus' work is studied. As the third research subject of the thesis study, an upper bound estimate for the right shift mapping to be uniformly Lipschitz failing the fixed point property on a class of closed, bounded and convex subsets in Lorentz sequence space l_(w,1) is found. It is well-known by a work of Dowling, Lennard and Turett that if a Banach space contains an isomorphic copy of l^1, then it fails the fixed point property for uniform Lipschitz mappings. Thus, in this thesis work, for what conditions the right shift mapping is uniformly Lipschitz so that when it is defined on a class of closed, bounded and convex subsets in Lorentz-Marcinkiewicz space l_(w,1) which fails the fixed point property.