Sıfıra yakınsak dizilerin Banach uzayında eşdeğer normlar vasıtasıyla sabit nokta teorisini sağlayan geniş sınıflar

Abstract

1979'da Goebel ve Kuczumow göstermiştir ki l1'de zayıf* kopakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahiptir. Peki Goebel ve Kuczumow teoreminin bir eşdeğer norm ile c0-analoğu düşünülebilir mi? Yani, (c0,∥⋅∥_∞) üzerinde bir eşdeğer norm ∥⋅∥_~ ve 'da zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks C kümelerinden oluşan geniş bir sınıf var mıdır ki bu C kümeleri genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olsun. Bu çalışmamızda göstermekteyiz ki c0 üzerinde tanımlı bazı eşdeğer normlar ∥⋅∥_~ bulunabilir öyleki burada zayıf kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf afin ∥⋅∥_~-genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahiptir. Çalışmamızda yer alan kümeler ise c0 'ın alışılmış normu olan ∥⋅∥_∞ normuna göre bazı asimtotik izometrik c0-toplam baz dizilerinin kapalı konveks kabukları olup 2011'de Lennard ve Nezir'in çalışmasına göre herhangi asimtotik izometrik c0-toplam baz dizisinin kapalı konveks kabuğu afin ∥⋅∥_∞-genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini bozar. Tez çalışmasında ayrıca Lorentz-Marcinkiewicz dizi uzayları da ele alınmıştır. Bu uzayların elemanları yine c0 uzayından seçilir. Lorentz-Marcinkiewicz uzayı l_(δ,1) bir l^1-analog Banach uzayı olup bazı ortak özellikleri paylaşmaktadır. Goebel ve Kuczumow teoreminin l_(δ,1)-analoğunu incelemek istiyoruz. Yani, l_(δ,1)'de zayıf* kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks C kümelerinden oluşan geniş bir sınıf var mıdır ki bu C kümeleri genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahip olsun. Bu soruya pozitif cevabı afinlik koşulu altında verebileceğimizi çalışmamızda görmekteyiz. Yani, bu çalışmamızda göstermekteyiz ki l_(δ,1)'de zayıf* kompakt olmayan, kapalı, sınırlı ve konveks kümelerden oluşan çok geniş bir sınıf afin genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisine sahiptir.

In 1979, Goebel and Kuczumow showed that a large class of closed, bounded, convex (c.b.c.), non-weak*-compact subsets of l^1 has the fixed point property (FPP) for nonexpansive mappings. What about -analogue of Goebel and Kuczumow's theorem with an equivalent norm? That is, do there exist an equivalent norm ∥⋅∥_~ on (c_0,∥⋅∥_∞) and a non-weakly compact, c.b.c. subset C of c0 , for which C has FPP for nonexpansive mappings? In this study, we show that we can find some equivalent norms ∥⋅∥_~ on c0 for which there exist non-weakly compact c.b.c. subsets that have FPP for affine ∥⋅∥_~-nonexpansive mappings. In fact, we see that our examples are closed, convex hulls of some asymptotically isometric (ai) c0-summing basic sequences respect to ∥⋅∥_∞ norm whereas in 2011 Lennard and Nezir showed that the closed, convex hull of any ai c_0-summing basic sequence fails FPP for affine ∥⋅∥_∞-nonexpansive mappings. In this thesis, Lorentz-Marcinkiewicz spaces are also investigated. The elements of these spaces are also selected from c0. Lorentz-Marcinkiewicz space l_(δ,1) is an l^1-analog Banach space sharing some common properties. We wonder l_(δ,1)-analogue of Goebel and Kuczumow's theorem? That is, we study to answer the question if there exists a non-weakly compact*, c.b.c. subset C of l_(δ,1), for which C has FPP for nonexpansive mappings? We see that we can give positive answer for this question under affinity condition. So in this study, we show that we can find a large class of non-weakly compact c.b.c. subsets of l_(δ,1) that have FPP for affine nonexpansive mappings.