Genişlemeyen fonksiyonlar sınıfından daha genel bazı fonksiyon sınıfları için sabit nokta teorisi ve Banach uzayın yansımalı olması bağlantısı

Abstract

2009'da Yansımalı Banach uzaylarının genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayacak şekilde yeniden normlanabildiği Dominguez Benavides tarafından gösterilmiştir. Bunun tersinin doğru olmadığı ise 2008'de yansımayan Banach uzay l^1'in sabit nokta teorisine sahip olacak şekilde yeniden normlanabileceği Lin tarafından ispatlanmıştı. Sonrasında ise birçok önemli sabit nokta teorisyeni tarafından denklik durumunun sağlanabildiği genişlemeyen fonksiyonları içeren daha geniş bir sınıfın var olup olmadığı sorulmuştur fakat bu halen çözülemeyen büyük açık bir sorudur. Yani genişlemeyen fonksiyonları içeren daha geniş bir sınıf için sabit nokta teorisini sağlayacak şekilde yeniden normlanabilen Banach uzaylarının yansımalı olup olmadığı halen sorgulanan bir sorudur. Lennard ile Nezir'in bir ortak çalışması ile bir Banach uzayı bir Banach latisiyse veya koşulsuz baza sahipse, veya sonsuz boyutlu bir Hilbert uzayı üzerinde tanımlı operatörlerin bir simetrik normlu idealiyse bu uzayın yansımalı olması için gerek ve yeter koşul kademeli genişlemeyen fonksiyonlar için sabit nokta teorisini sağlayan bir eş norma sahip olması gösterilmiştir. Bu çalışmalarından önce Nezir'in doktora tezinde ve tezden yararlanılarak yazılan bir çalışmalarında genişlemeyen fonksiyonlardan daha genel bir sınıf olan yarı-kuvvetli asimtotik genişlemeyen fonksiyonlar için Banach latislerde sabit nokta teorisine sahip olmanın uzayın yansımalı olmasına denkliği gösterilmiştir. Bu tez çalışması ile adı geçen fonksiyon sınıfları ve daha genel sınıflar ele alınmış ve bahsi geçen çalışmalar derinlemesine incelenmiştir.

In 2009, Dominguez Benavides showed every reflexive Banach space can be renormed to have the fixed point property (fpp) for nonexpansive mappings. But the converse is not true by Lin's result: l^1 can be renormed to have fpp for nonexpansive mappings. Later, it has remained to be open question as to whether or not Banach spaces that can be renormed to have fpp for a wider class of mappings are reflexive. However, by a published joint work of Nezir and Lennard which leads to the investigation of this problem, it was shown that if a Banach space is a Banach lattice, then it is reflexive if and only if it has an equivalent norm that has fpp for cascading nonexpansive mappings. But an equivalance principle has not yet been established without any necessity of any condition. Before their study, in Ph.D. thesis of Nezir and in a recent study using ingredients of his thesis, Lennard and Nezir showed that in Banach lattices, a Banach space has fixed point property for semi-strongly asymptotically nonexpansive mappings, which is a more general class of functions than nonexpansive ymappings, yif and only if the space is reflexive. In this thesis study all mentioned function classes with some more general functions in terms of fixed point theory are taken into consideration and aforementioned works are investigated deeply.