Sonlu boyutlu uzaydan Banach uzayının endomorfizmler cebirine etki eden operatörlerin spektral teorisi ve çok boyutlu diferensiyel denklemlere uygulanması

Abstract

9. ÖZET Bu çalışmada, önce Banach uzayında etki eden operatörlerin apektral özellikleri verilmiş daha sonra bu özelliklerden yararlanarak sonlu boyutlu uzaydan Banach uzayının en- domorfizmler cebirine etki eden operatörlerin spektral teorisi ve buna paralel olarak da sonsuz boyutlu uzaydan Banach uzayının endomorfizmler cebirine etki eden op eratörlerin bazı özellikleri verilmiştir. Ayrıca bir Banach uzayında bir operatör için daha önce Dunford-Schwartz'in [3] verdiği fonksiyonel hesaplamalar ilk defa olarak farklı Banach uzaylarında etki eden (A, B) operatör çifti için hesaplanmıştır. Bu hesaplamalar sırasında bir Banach uzayında etki eden operatörlerin tersine farklı Ba nach uzayında etki eden operatörlerin spektrum kümelerinin boş ve sınırsız bir küme olabileceği gösterilmiş ve bu sorunu ortadan kaldırmak için yeni tanım ve teoremler verilmiştir. Bir Banach uzayından diğer Banach uzayına etki eden operatör çifti birimli Banach cebiri olmadığından, bu uzayda etki eden operatör çifti için, aynı uzaydan aynı uzaya etki eden sağ ve sol pseudo-resolvent operatörleri tanımlanmıştır. Böylece {A, B) operatör çiftinin sağ ve sol pseudo-resolventleri olan Rr{/;A;B) ve Rı{/;A, B) operatörler uzayının birimli Banach cebiri oluşturduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu çalışmada, Friedrichs K.'nın [16] Hilber uzayında etki eden pertur- basyon operatörler ve Kato T.'nın [17] bir parametreye bağlı perturbasyon operatörler için yaptıkları çalışmalardan yararlanarak, farkllı Banach uzaylarında etki eden pertur basyon operatörler için yeni teoremler verilmiştir. Son olarak bu çalışmaların uygulaması olan; operatör katsayılı çok boyutlu dife ransiyel denklemlerin çözülebilme şartları ve bu şartlar dahilinde çözümleri incelenmiştir. Önce katsayıları operatörler olan çok boyutlu homojen diferansiyel denklemlerin çözüle bilme şartları bulunmuş ve bu bulunan şartlara göre denklemin çözümü verilmiş daha sonra operatör katsayılı homojen olmayan çok boyutlu diferansiyel denklemin tam ;özulebilme şartları incelenmiştir. Bu inceleme sırasında bi-lineer Lie çarpımı bulunmuş ve operatörlerin morfizm özelliğinden yararlanarak sonlu boyutlu uzayın Lie cebirine dönüştüğü gösterilmiştir. 59

10. SUMMARY In this study, 6h» spectral propertias of operators acting in one Banach space is first given and then by making use of these properties, the spectral theory of operators acting from finite dimensional space to algebra of endomorphisms of Banach space is presented and in parallel to this, the spectral theory of operators acting from infinite dimensional space to algebra of endomorphisms of Banach space is also provided. Furthermore, the functional calculations given previously by Dunford-Schwartz [3] for an operator in one Banach space are applied for the first time to a pair of operators in different Banach spaces. During these calculations, it is shown that the spectrum of pairs of operators in different Banach spaces may be an empty and infinite set in contrary to operators acting in one Banach space. To solve this problem new definitions and theorems are given. Because of the pairs of operators in different Banach spaces do not constitute Banach algebra with tmity, the left and right pseudo-resolvent operators acting from one Banach space to itself are defined for the pair of operators acting in this space As a result of these, it is shown that the Rr(A; A, B) and ftj(A; A, B) operator spaces which are mutually right and left pseudo-resolvent of pairs of operators (A, B) construct a Banach algebra with unity. In addition, the studies performed by Priedrichs [16] on the perturbation operators acting in Hubert space and by Kato T. [17] on perturbation operators depending on a parameter were used to present new theorems for the perturbation operators in different Banach spaces. Finally, the necessary and sufficient conditions for solvability of multidimensional differential equations with operators coefficient as well as the solutions depending on these conditions were investigated. First the necessary and sufficient conditions for exact solvability of homogenous multidimensional differential equations are found and depending solution is provided. Then the necessary and sufficient conditions for exact solvability of non-homogenous multidimensional differential equations with operators coefficient are studied. During this study, bi-linear Lie product is found and depending on this and the property of morphism of operators, it was shown that the finite dimensional space is transformed into the Lie algebra. 60