Application de la mesure floue et de l`integral floue en aide multicritere a la decision

Abstract

Özet Çok Ölçütlü Karar Verme XX. yüzyılın ikinci yarısında önemli gelişmeler gösterdi. Özellikle 1972 yılındaki, aynı zamanda bu konuya ismini de veren, Uluslararası Çok Ölçütlü Karar Verme (Multiple Criteria Decision Making, MCDM) Konferansı'ndan sonra hızlı ve önemli gelişmeler gösterdi. Örneğin çok ölçütlü fayda teorisi (Multi Attribute Utility Theory, MAUT), çok amaçlı programlama (Multi-Objective Programming) ya da bulanık küme teorisi çok ölçütlü karar vermenin klasikleri arasına girdi. Çok ölçütlü karar verme problemleri için bir çok yöntem önerildi, bir çok alternatif çözüm sunuldu. Örneğin Roy'nın önerdiği ELECTRE yöntemleri, ikili alternatiflerin karşılaştırılması ve tercih sıralaması temeline dayanırken, MAUT alternatiflerin ölçütler üzerindeki değerlerinin faydaları esasına dayanır. Bütün bu yöntemlerde ortak nokta, belli bir noktada biriktirilen faydaların tümlenmesidir. ELECTRE yöntemlerinde alternatiflerin tercih dereceleri tümlenirken, MAUT'da fayda değerleri tümlenmektedir. Geliştirilen bu yöntemlerde üzerinde durulan yenilik genelde seçim sürecinin modellenmesi olmuş, tümleme süreci ihmal edilmiştir. Günümüzde en çok kullanılan tümleme aracı, `ağırlıklı ortalama`, insan değerleme yapışım iyi yansıtamayan bir yapıdadır. Gerçekte insan bulanık olayları değerlendirme durumundadır ve karar verirken, hem kullandığı yapıda ölçümler toplamsal olmamakta hem de çoğu zaman nesnelerde ölçütler bağımsız olmamaktadır. Her durumda ağırlıklı ortalama gibi doğrusal bir yöntem, toplamsallık ve bağımsızlık varsayımlarına dayandığı için uygulanamaz. Bulanık ölçümler ve bulanık entegral 1974 yılında Sugeno tarafından bulanık sistemleri ve sübjektif insan değerleme yapısını modellemek amacıyla önerildi. Sunduğu modelde, insanın bilgileri nasıl bütünlediğini, onları nasıl değerlendirdiğini ve hareketlerinde nasıl karar verdiğini taklit etmeye çalışmıştır. Bulanık ölçümler ixteorisinde, klasik ölçümlerdeki toplamsallık yerine sadece monotonluk önerilmiş ve böylece daha genel bir yapı elde edilmiştir. Bulanık ölçümler teorisi üzerine yapılan çalışmalar ilk günden beri hızla devam etmesine rağmen uygulama konusunda çalışmalar yetersiz kalmıştır. Bunun sebebi monoton ölçümlerin kullanılması ve anlaşılmasının olasılık gibi toplamsal ölçümlerle karşılaştırıldığında kolay olmamasıdır. Uygulama açısından bakıldığında, u ile gösterdiğimiz bulanık ölçümler yani monoton küme fonksiyonları, iki farklı problemi modellemek için kullanılabilir: ^° Olasılıkta sıkça yapıldığı gibi, O olay uzayındaki belirsizlik: Özellikle, bir A<z£l altkümesi için, u(A) inanç derecesini modeller. Bulanık ölçümlerin özel durumları olan olabilirlik ölçümleri (possibility measure), inanma fonksiyonları (belief functions) bu bağlamda uygulanmışlardır. /?° Bir koalisyonun önemi: X, elemanları bir işbirliği oyununun oyuncuları ya da bir çok ölçütlü karar verme probleminin ölçütleri olan bir küme olsun. Bu durumda u(A) her A e Q için A koalisyonunun bu karar verme problemi için önemini gösterir. Elemanlar arasındaki etkileşimleri esnek bir biçimde gösterebilmek için bulanık ölçümleri genel yapısıyla kullanmak ve olabilirlik ölçümlerinde ya da inanç fonksiyonlarında olduğu gibi kısıtlama yapmamak gerekir. Eğer bulanık ölçümleri en genel yapısıyla kullanırsak bu ikinci yaklaşım çok ölçütlü karar verme problemlerinde daha uygulanabilir bir yaklaşım olmaktadır. Bu nedenle çalışmada bu durum üzerinde durulmuştur. Bulanık ölçümler koalisyonların önemini modellemek için esnek yapılar olsa da uygulamada ele alınmaları kolay olmamaktadır. Bunun başlıca iki sebebini şöyle açıklayabiliriz: Öncelikle, bir bulanık ölçümün tanımlanabilmesi için kümenin altküme sayısı kadar katsayı tanımlamamız gerekir. Örneğin, bir çok ölçütlü kararverme probleminde X ölçütler kümesinde n eleman olsun. Bir bulanık ölçüm tanımlayabilmek için monotonluk kısıtlarını sağlayan 2` pozitif gerçel katsayı tanımlanmalıdır. Dolayısıyla uygulayıcı, ya sadece n katsayı gerektiren bir toplamsal ölçümden yararlanıp zayıf bir modelleme aracı kullanmakta ya da bulanık ölçümlerin zenginliğini ve zorluklarını dikkate alıp bu sefer de bulanık ölçümü en genel anlamıyla ele almak için yeterli araçlara sahip olmamaktadır. İkinci olarak, u(A) değerinin anlamını tanımlamakta güçlük çekilebilmektedir. Yani küçük n değerleri için bile tüm A <A X için bir değer atamak külfetli olmaktadır. Bir çok uygulama probleminde uzmanlar bir ya da iki elemanlı kümelerin önemi için tahminde bulunabilirler ancak ikiden fazla eleman sayısı için durum zorluklar getirmektedir. Karşı durumda ise bir bulanık ölçüm verildiğinde karar verme tutumları açısından tam olarak anlamını söylemek imkansız gibidir. Bir tek i elemanının değeri küçük olduğu halde bir çok AcX için /^(Au{i}) değerleri yüksek olabilir. Bu durum i elemanının çok önemli olduğunu gösterir. Tersi durum için de örnek çoğaltılabilir. Bulanık ölçüm teorisi matematiksel açıdan derinliğine incelenmiştir. Ancak, belirsiz ortamda karar vermede uygulanması ihmal edilmiştir. Bulanık ölçüm teorisinde Choquet entegralinin bir tümleme aracı olarak benimsenmesinden sonra uygulamalar hızlanmıştır. Grabisch tarafından Choquet entegralinin yeni bir biçimde ifade edilmesini sağlayan etkileşim gösteriminin tanımlanmasıyla entegralin mekanizmasının anlaşılması kolaylaşmıştır. Sonuç olarak 1997'de Grabisch tarafından önerilen £-derece toplamsal bulanık ölçümler, toplamsal ölçümlerle genel bulanık ölçümler arasında bir ara çözüm almayı sağlanmıştır. Böylece Shapley ve etkileşim gösterimlerinin de kullanılmasıyla bulanık ölçüm daha anlaşılır ve uygulanabilir hale gelmiştir. Bu tez çalışmasında, çok ölçüttü karar vermede ölçütler arasındaki etkileşimlerin bulanık ölçümler ve Choquet entegrali ile modellenmesi üzerinde durulmuştur. İlk olarak ölçüm ve entegral konularının tanımları verilerek bulanık ölçüm ve bulanık entegral konuları tanıtılmış, tanımlan verilmiştir. Burada basit örneklerle konu xiaçıklanmaya çalışılmış daha sonra diğer tanımlara geçilmiştir. Bulanık entegrallerin Möbius, Shapley ve etkileşim gösterimleri tanıtılmış ve özellikleri verilmiştir, k- derece toplamsal bulanık ölçümlerin tanımlanmasından sonra ise bulanık ölçümlerin belirlenmesinde kullanılan farklı yaklaşımlar tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde, bulanık ölçümlerle yapılan modelleri karşılaştırabilmek için iki yaygın kullanım gören çok ölçütlü karar verme aracı tanıtılmıştır. Bunlardan birincisi TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution), alternatiflerin ideal ve karşıt-ideal çözümlere olan uzaklıklarını temel alan bir yaklaşımdır. En iyi alternatifin ideale en yakın ama karşıt-ideale en uzak olması gerekir, ikinci yöntem, ELECTRE III, ise ilişkisel bir yaklaşımdır ve alternatiflerin birbirlerine göre kısmi tercih edilmeleri esasına dayanan bir yöntemdir. Dördüncü bölümde ise bir yüksek lisans programı için öğrenci seçimi problemi irdelenmiştir. İlk aşamada bölüm 2.10'da tanıtılan, Marichal ve Roubens tarafından önerilen bir yöntemle, bir 2-toplamsal bulanık ölçüm belirlenmeye çalışılmıştır. Burada kullanılan ölçütler şunlardır: ^ TOEFL (Test of English as a Foreign Language) derecesi. Bilgisayar bazlı test sonuçları göz önüne alınmıştır ve puanlar 300 üzerindendir. s?° GRE (Graduate Record Exam) derecesi. Sayısal bölüm puanı 800, analitik bölüm puanı 800 üzerinden değerlendirilmektedir. Bu iki sonucun toplamı ölçüt olarak alınmıştır, s?» Öğrencinin lisans mezuniyet not ortalaması. Lisans mezuniyet notu 4,00 üzerinden verilmiştir. *&° Kompozisyon notları. Bir konsey tarafından öğrencinin yazdığı kompozisyonlar 5 üzerinden değerlendirilmiştir. Bulanık ölçümün katsayılarını belirlemek amacıyla karar vericiden alınan aşağıdaki bilgiler doğrultusunda kısıtlar belirlenebilir: s?» A = {l, 2, 3, 4, 5, 6} alternatifler kümesi, s?° N = {TOEFL, GRE, Ortalama, Kompozisyon} ölçütler kümesi, xii&. Tablo 1 de verilen xf bireysel notlar tablosu, s?° A üzerinde verilen alternatiflerin bir kısmi sıralaması >-A, s?° İV üzerinde verilen ölçütlerin bir kısmi sıralaması >- N, *£*. Ölçüt çiftleri arasında verilen bir kısmi sıralama >~A (etkileşim endisleri sıralaması), s?° Bazı ölçüt çiftleri arasındaki etkileşimlerin işaretleri m(ij): > 0, < 0, = 0. Toplanan tüm bu veriler, bir eşitlik ve eşitsizlikler sistemi şeklinde bilinmeyen ju katsayıları cinsinden yorumlanarak Marichal ve Roubens tarafından önerilen aşağıdaki gibi bir matematiksel programda kullanılmıştır. maxz = £ kısıtlar s > 0 (pozitif yapay değişken) CM(a)-CM(b)zS + e, ayAb ~5<C»-C»><?,a*Ab /*(*) = M (j), i*Nj I..>£, i.. > o İJ » İJ I,, = 0 aksi halde S eşiği ile A üzerinde kısmi sıralama Ölçütlerin önemlerinin sıralanması Ölçüt çiftlerinin sıralanması (etkileşimler) Bazı etkileşimlerin işaretleri 2İJ^ ı ~Lu^ i ~^ (değerler üzerindeki sınır şartı) ı=l ı=l // (Â) < fj,(B) W A ez Bez X (monotonluk şartları) Burada küme parantezleri gösterimi basitleştirmek amacıyla ihmal edilmiştir. Örneğin, /i({i}),5u{/} yerine ju(i),Sui yazılmış ya da {i,j},{i,j,k} yerine ij, ijk yazılması tercih edilmiştir. xiiiTüm bu kısıtlar, 2-toplamsal bulanık ölçümler için aşağıdaki eşitlikler göz önüne alınarak, Möbius transformasyonu m cinsinden ifade edilebilir. «=ı {yyzx I.=®.=m(i) + - 5>fe) £ ir ' jczN-i Iy=m(ij) Tablo 1. Adayların puanları Karar vericiden alman bilgiler doğrultusunda adaylar için bir tercih sırası oluşturulmuş ve en büyük değerle göre normalize edilen puanlar hesaplamalarda kullanılmıştır. Karar verici adaylar arasında yaptığı tercih sırasının yanında ölçütler ve ölçüt çiftlerinin önemleri ile ilgili ek kısıtlar getirmemiştir. Tüm bu veriler ışığında oluşturulan doğrusal program aşağıdaki verilmiştir. xivmaxz = £ kısıtlar e>0 - 0,01m(l)+ 0,03w(2)+ 0,06m(3)-0,01m(l2) + 0,02m(l3) - 0,01m(l4) + 0,06m(23) + 0,03m(24) + 0,06m(34) > S + s - 0,03m(l) + 0,lw(2)+ 0,03w(3)- 0,lm(l2) + 0,03m(l3) - 0,03m(l4) + 0,08w(23) + 0,li»(24) + 0,03m(34) > 5 + e 0,04m(l) - 0,07m(2) - 0,03m(3) + 0,25m(4) - 0,07m(l2) - 0,03m(l3) + 0,25w(l4)- 0,07w(23) + 0,12w(24)+ 0,16m(34) > Ö + s 0,05ı»(l)+ 0,07w(2)- 0,06w(3)+ 0,07m(l2) + 0,03m(l3)+ 0,07m(23) > S + s - 0,01ı»(l) + 0,09m(3)- 0,01m(l3) > 8 + s m(l) + m(2) + m(3) + m(A) + m(l2) + m(l 3) + i»(l4) + m(23) + m(24) + m(34) = 1 m(î)>0, i e N = {1,2,3,4} m{i) + m(ij) > 0, i,jeN = {l, 2, 3, 4 } m(i)+m(ij)+ m(ik)> O, i,j,k e İV = {l, 2, 3, 4 } m(i) + m(ij)+ m(ik) + m(il) > 0, i,j,k,l eN = {l, 2, 3, 4 } Bu doğrusal program Excel SOLVER yazılımı kullanılarak çözülmüştür. Burada S = 0,025 değeri kullanılarak en uygun sonuçlar belirlenmiştir. Tablo 2 tek elemanlı alt kümelerin, yani ölçütlerin, ölçümlerini ve Shapley değerlerini, yani önem derecelerini göstermektedir. xvTablo 2. m(i) = /^ağırlıkları ve Shapley değerleri 1. TOEFL 2. GRE 3. Ortalama 4.Kompozisyon m{i)=n(i) 0,3205 0,5692 0,3205 0,2582 I(i) 0,1603 0,4440 0,2154 0,1804 Etkileşim endisleri yani ölçüt ikililerinin ağırlıkları ise Tablo 3 'de gösterilmiştir. Tablo 3. Etkileşim endisleri K İl) = rnjif) 2. GRE 3. GPA 4. Kompozisyon 1. TOEFL 0 -0,3205 0 2. GRE 0,0077 -0,2582 3. Ortalama 0,1026 Elde edilen bu sonuçlan kullanırken ihtiyatlı davranmak gerekir. Çünkü elde ettiğimiz aslında sadece öngördüğümüz kısıtlarla tutarlı olan bir çözümdür. Yani sadece bu çözüm ile genel sonuçlar çıkarmak doğru olmayabilir. Üstelik önerilen bu program çoklu çözümlere yatkın bir yapıdadır. Dolayısıyla modelin parametrelerini belirlerken dikkatli davranmalı ve aranan bulanık ölçümü en iyi yansıtan çözüm seçilmeye çalışılmalıdır. ikinci aşamada ise elde edilen bu katsayıların faydası 20 kişilik yeni bir örneklem kullanılarak test edilmiş ve yaygın kullanım gören çok ölçütlü karar verme araçlarıyla elde edilen sonuçlar karşılaştırılmıştır. Kullanılan 20 öğrencilik örneklem Tablo 4'de gösterilmiştir. Tablo 4. Öğrencilerin puanları No TOEFL GRE Ort Komp No TOEFL GRE Pıt Komp XVIAdayların puanları yine en büyük değer kullanılarak normalize edilmiş ve doğrusal programla bulduğumuz Möbius transformasyonu kullanılarak Choquet entegralleri hesaplanmıştır. TOPSIS yöntemi ile adaylar arasında bir sıralama elde edilirken ölçütlerin ağırlıklandırılmasında Shapley değerleri kullanılmıştır. Böylece ideal ve karşıt-ideal sonuçlara olan uzaklıkları ile hesaplanan puanlara göre adaylar sıralanmıştır. ELECTRE El yönteminde ise ilgili bilgisayar programı kullanılmış, adaylar ve performansları girildikten sonra ölçütlerin tercih (pj) ve farksızlık (qj) eşikleri belirlenmiştir. Burada kullanılan eşiklerin sabit olması tercih edilmiştir. Bu değerler Tablo 5'de üç yöntemden elde edilen sonuçlar ise Tablo 6'da gösterilmiştir. Tablo 5. Tercih ve farksızlık eşikleri TOEFL GRE Ortalama Kompozisyon qı 3 10 0,02 0 Pı 10 30 0,05 0 Tablo 6. Kullanılan üç çok ölçütlü karar verme yöntemi ile elde edilen sonuçlar Sıra TOPSIS Choquet ELECTRE m Aday C Aday Cj, Aday XV11Farklı çok ölçüttü karar verme yöntemlerinden elde edilen sıralamaların değerlendirilmesi için Spearman sıra korelasyonu katsayısı hesaplanmıştır. Adayların Choquet entegralinin uygulaması sonucu elde edilen sıralamaları ile TOPSIS ve ELECTRE El sıralamaları arasında korelasyon katsayıları ayrı ayrı hesaplanmış ve bir hipotez testi ile aralarında pozitif bir korelasyon olduğu hipotezi doğrulanmıştır. TOPSIS ve Choquet sıralamaları arasındaki korelasyon katsayısı 0,95; ELECTRE IH ve Choquet entegrali sıralamaları arasında ise 0,75'dir. %1'lik anlamlık derecesi için eşik değeri ise 0,534'dir. Bulanık ölçüm çok ölçüttü karar vermede henüz etkin bir biçimde uygulanamamış bir araçtır. Teorik alanda çalışmalar derin olarak yapılmış olsa da farklı alanlardaki uygulamaları incelenmeli ve geliştirilmelidir. Burada incelediğimiz örnek bulanık ölçümlerin günlük hayatımızda karşılaştığımız problemlerde etkin olarak uygulanabileceğini göstermiştir. xviii T.C YOKSEKÖCKTTİM KÜRÜ U3 IKHCftUUJVrASVOtf »rrRKtZİ

Resume La mesure et l'integrale par rapport â la mesure sont des concepts tres important dans les mathematiques. us ont beaucoup d'application en ingenierie, et leur caracteristique principale est l'additivite. Cette caracteristique est tres effective et convenante mais souvent trop inflexible ou trop rigide. Afin de resoudre ce probleme de rigidite, la mesure floue a etait proposee par Sugeno en 1974 etant son etude de these doctorale. C'est une extension de la mesure de façon â remplacer la propriete d'additivite par une condition moins rigide, la monotonie. Les mesures floues et l'integral floue avaient ete presentees afin d'exprimer les systemes flous et puis avaient ete proposees pour modeler la procedure devaluation subjective de l'liomme. Avec son modele Sugeno essaie de simuler comment les individus integrent les informations, les evaluent et decident sur leurs actions. Malgre les etudes profondes sur la theorie de la mesure floue, les applications de la mesure floue manquent surtout en aide multicritere â la decision (MCDM, Multiple Criteria Decision Making). Cette breche est causee par la difficulte de l'utilisation pratique et de comprehension des mesures monotones comparees aux mesures additives. Avec les mesures floues, il est possible de modeler deux sortes de choses, la premiere c'est l'incertitude sur l'ensemble Q des etats du monde, et la deuxieme c'est l'importance d'une coalition pour un A c Q. Ici, ju(Â) represente l'importance de la coalition.4 pour le probleme de decision considere. Un concept introduit par Grabisch, les mesures floues £-ordre additives, permet de donner une solution intermediaire pour les mesures floues qui peut varier entre les mesures additives et les mesures floues generales. En fait, compose par la definition de representation de Shapley et d'interaction, les mesures floues sont devenues plus comprehensibles et applicables. VllDans cette these, on va introduire les mesures floues dans le concept de MCDM. Les definitions et le sens des concepts sont donnes profondement en chapitre 2. Puis l'interaction des criteres et les trois representations des mesures floues sont presentees. Apres avoir defini la &-ordre additivit? les effets de veto et faveur sont donnes. Les differentes approches possibles pour 1' identification des mesures floues sont presentees en 2.10. En chapitre 3, afin de faire comparer differentes approches, une selection d'autres methodes d'aide multicriteres â la decision sont affichees. La premiere m6thode est TOPSIS qui est une methode basee sur le concept de distance entre les alternatives et les solutions ideale et anti-ideale. La deuxieme methode est ELECTRE HI qui est base sur le concept de preference partiel et qui est une approche relationnelle. Une application dans l'aide multicriteres â la decision de la mesure floues est introduite en chapitre 4. Dans la premiere partie les coefficients de la mesure floues sont determines avec une approche proposee par Marichal et Roubens pour un probleme de selection des etudiants. Dans la deuxieme partie l'utirit? de ces coefficients est verifiee en les traitant avec un echantillon d' etudiants de vingt personnes. Cet echantillon est range par les trois methodes et ces rangements sont compares par le coefficient de correlation de Spearman. Les mesures floues sont des outils de MCDM qui ne sont pas encore appliques d'une façon efficace et effective. Meme si, les etudes dans les aspects theoriques sont assez profondes, les applications dans des differents domaines doivent etre etudiees et developpees. L'exemple qu'on a etudie dans cette etude a montre applicability dans les problemes frequents. vm