Bifurcation of reaction diffusion equation

Abstract

İlk önce, tanımlanan eliptik eğri denklemlerinin kat sayılarına bağlı olarak,eliptik eğrilerin önemli topolojik özelliklerini inceliyoruz. Özellikle, tanımlanan bueğri denkleminin diskriminant vasıtasıyla bulunan tekil noktalar üzerinde çalışıyoruz.Eğer bu eğriler, kat sayılarının sıfırdan farklı diskriminant veren bir denklemtarafından tanımlanmışsa, bu eliptik eğrilerin tekil olmadığını görüyoruz.2. ünitede eliptik fonksiyonların temel özellikleri, yani P1(C) projektif uzayında bulunaniki kat periyodik meromorfik fonksiyonlar üzerinde çalışıyoruz.3. ünitede, Jacobi eliptik fonksiyonlar, eliptik integrallerin ters fonksiyonu olaraktanımlıyoruz. Ayrıca, Galileo sarkacnn periyotluğu üzerinden, Jacobi eliptik fonksiyonların mekanik problemleri çözdüğünü görüyoruz.4. ünitede, doğrusal olmayan reaksiyon difüzyon türevli denklemi üzerinde çalışıyoruz.Bu denklemi, 3 parametreye bağlı 4. dereceden polinomla belirtiyoruz. Budenklemle ilişkili olan eliptik eğrilerin bifürkasyonunu inceliyoruz. Yani, sabitlenmiş enerji seviye parametresinin 2 boyutlu parametre uzayında bifürkasyon diyagramını çiziyoruz. Bunun sonucunda, Jacobi eliptik fonksiyonu ile ifade edebilenreaksiyon difüzyon denkleminin periyodik çözümünün davranışını analiz etmek içinbifürkasyon diyagramının bütün bağlı unsurlarının durum incelemelerine ulaşıyoruz.Anahtar sözcükler: Eliptik eğriler, tekil, tekil olmayan noktalar, diskriminant,iki kat periyodik, meromorfik, projektif uzay, Jacobi eliptik fonksiyon, periyodiklik,bifürkasyon, reaksiyon difüzyon denklemi.

First of all, we review important topological properties of elliptic curvesin dependence of coefficient of defining equation of elliptic curves. Especially, westudy singular points of elliptic curves by means of discriminant of defining equa-tion of the curve. We see that the elliptic curve is non singular if it is defined by anequation whose coefficients will give non zero discriminant.In Chapter 2, we review fundamental properties of elliptic functions, i.e. doublyperiodic meromorphic functions on projective space P1(C).In Chapter 3, we define Jacobi elliptic functions as inverse function to elliptic in-tegrals. Moreover, we see that Jacobi elliptic function solves mechanic problem onthe periodicity of Galileo pendulum.In Chapter 4, we study solution to non linear reaction diffusion equation. This equa-tion is described by an quartic polynomial that depends on three parameters. Weexamine the bifurcation of the elliptic curves associated to this quartic equation.That is to say first we draw a bifurcation diagram in a 2-dimensional parameterspace for a fixed energy level parameter. Then we shall achieve case studies for eachconnected component of the bifurcation diagram to analyze the behavior (e.g. thelength of the period) of periodic solution to the reaction diusion equation expressedby Jacobi elliptic function.Keywords: Elliptic curves, singular, non singular points, discriminant, doubly pe-riodic, meromorphic, projective space, Jacobi elliptic function,reaction diffusion equation.