Theta functions of indefinite binary quadratic forms

Abstract

Bu çalışmada, pozitif belirli ikili kuadratik formların tamsayı temsilleri ile klasiktheta fonksiyonları arasındaki ilişkiyi kapsayan genel teori açıklanmıştır. Bilindi§iüzere, sabitlenmi³ bir pozitif tamsaynn verilen pozitif beliri ikili kuadratik formile farklı temsillerinin sayısının sonlu oluşu, bu kuadratik forma karşılık gelen thetafonksiyonunun yakınsamasını zorunlu hale getirir. Aynı zamanda bu theta fonksiyonları,değişkenlerinin her ikisine göre belli bir simetriye sahiptir.Theta fonksiyonları teorisini, belirsiz kuadratik formlarda genellemeyi amaçlayanbu tezde, belirsiz ikili kuadratik formlarda da benzer soruyu göz önünde bulunduruyoruz.Bilindiği üzere, klasik ikili kuadratik formlar teorisine göre, herhangi birtamsayının temsil sayısı kümesinin eleman sayısı boş değilse sonsuzdur. S.Zwegers,belirsiz ikili kuadratik formlar için theta fonksiyonlarını tanımlamıştır. Bu çalış-mada, belirsiz ikili kuadratik formlara karşılık gelen bu yeni theta fonksiyonlarnnyakınsaklıkları ve simetrileri araştırılmıştır.Bu tezde, birinci bölümde iki boyutlu kafeslerdeki denklik sınırlarıyla, pozitif belirliikili kuadratik formlar arasındaki birebir ilişki tartışılmıştır. kinci bölümde thetafonksiyonlarna ilişkin temel kurallar (bunların yakınsaklıkları ve simetrilerini) hatırlatılmışve daha sonra theta fonksiyonlarının iki klasik uygulamas olan eliptikfonksiyonların elde edilmesi ve modüler formların elde edilmesi tartışılmıştır. Sonbölümde ise, belirsiz ikili kuadratik formlar ve simetrilere karşılık gelen theta fonksiyonlarınıntanımına değinilmiştir.Anahtar Kelimeler : theta fonksiyonlar, kafesler, belirisiz ikili kuadratik formlar

The general theory encapsulating the relationship between classical theory of thetafunctions and representation of integers by positive denite quadratic forms is wellestablished. Indeed, it is the niteness of the set of representations of a given positiveinteger by a xed quadratic form forces the convergence of the corresponding thetafunction. These theta functions also possess certain symmetries with respect to bothof their variables.In this thesis with the aim of generalizing the theory of theta functions to theindenite case we consider the analogous question for the case of indenite binaryquadratic forms. By the classical theory of indenite binary quadratic forms itis well known that the cardinality of the set of number of representations of anyinteger is innite unless empty. It was S. Zwegers who dened the correspondingtheta functions. The convergence and symmetries of these new theta functionscorresponding to indenite binary quadratic forms are investigated.The thesis is organized as follows: the rst part discusses 1-1 correspondences betweenequivalence classes of rank 2 lattices and positive denite binary quadraticforms. Second chapter is devoted to recalling basic facts around theta functions(their convergence and symmetries) and then discusses two classical uses of thetafunctions : in obtaining elliptic functions and in obtaining modular forms. The nalchapter of thesis is devoted to the denition of theta functions corresponding toindenite binary quadratic forms and their symmetries.