Measures on the boundary of the farey tree

Abstract

Bu çalışmada, ağaçları, sınırlarını ve ağacların sınırları üzerindeki bazı özel Borelölçülerini ele alıyoruz. Özellikle Farey ağacı üzerinde çalışıyoruz. Farey ağacı, köşeleribirim aralığındaki rasyonel sayılarla tanımlanan köklü bir ikili ağaçtır. Stern Brocotağacının ilk sol koludur.Ağaçların sınırları üzerindeki topoloji bir metrik aracılığı iletanımlanır, topoloji açık toplar tarafından gerilir. Ağacın sınırları üzerinde bazı özelBorel ölçüleri vardır. Minkowski ölçüsü ağacın otomorfizma gruplarının aksiyonualtında değişmez kalan tek ölçüdür. Denjoy ölçüsü ise Minkowski ölçüsününgenelleştirilmiş halidir. Sürekli kesir fonksiyonu birim aralıktan tanımlanır ve Gauss fonksiyonunun birgenelleştirilmesidir. Bu fonksiyonun formal tanımı 5. bölümde verilir. Bu tezde, ağaçyapısı kullanılarak tanımlanan sürekli kesir fonksiyonlarının daha geniş birgenellemesini ele alıyoruz. Bu bölümdeki amacımız, özel sürekli kesir fonksiyonualtında değişmeyen ölçüleri bulmaktır. Iddiamız f(y) = 1/ybu özel fonksiyon üyelerialtındaki değişmez bir ölçünün yoğunluğunu sağlar ve bu iddiamızı ispatlıyoruz. Sonbölümde tezin geneli ile çok uyumlu olmayan bir çalışmamız var. Her sürekli kesirtasvirine bir kuvvet serisi iliştiriyoruz öyle ki bu kuvvet serisi yakınsaklık ve süreklilikgibi bazı güzel özelliklere sahip olsun.

In this work, we consider trees, their boundaries and some special Borel measures on the boundary of trees. Especially we work on Farey Tree.Farey Tree is a rooted binary planar tree whose vertices are described by all rational numbers in the unit interval. It is the first left branch of the Stern-Brocot Tree.A topology on the boundary of the tree is induced by a metric, it is generated by open balls. Some natural Borel measures appear on the boundary of the Farey tree. TheMinkowski measure is the unique measure on the boundary which is invariant under the full action of the automorphism group of the tree on its boundary.Denjoy's measures are a straightforward generalization of the Minkowski measure.Continued fraction map is defined on the unit interval which is a generalization of the Gauss map. The formal definition of this map is given in Chapter 5. In this thesis, we consider an even larger generalization of the continued fraction maps defined by using the tree structure. Our aim in this chapter is to find the invariant measures under these special continued fraction maps. Our claim is f(y)=1/y satisfies the density of an invariant measure under these special members of maps and we proved it. At the final chapter, we have a study that is not very compatible with the overall thesis. We associate a power series to continued fractions such that this series has some proprieties, such as convergence and continuity.