Differential forms on stratified spaces

Abstract

Bu tez çalışmasında stratifiye uzaylar üzerindeki diferensiyal formları difeolojik yöntemlerle tanımlamaya çalıştık. Stratifiye uzaylar, stratalarının birbirine bağlanması açısından güzel yapıya sahip özel filtre edilmiş uzaylardır. Bu uzaylar bir manifold değillerdir ve tekil uzaylarda tanjant demetleri gibi kavramların geometrik tanımları olmadığı için bu uzaylar üzerinde differensiyal formlar anlamsız kalmaktadır. Fakat strataların manifold olduğu durumlarda bu strataların üzerine tüp sistemleri ve uygun büzülmeler koyarak diferensiyal formları bu uzayların düzgün bölümlerinde tanımlamamız mümkün. Goresky-MacPherson çalışmalarında bu bahsettiğimiz yöntemle diferensiyal formları tanımlamışlardır. Klasik diferensiyal geometride kullandığımız bazı araçlar yukarıda bahsettiğimiz sebeplerden dolayı bazı durumlarda anlamsız ve zor kalabilmektedir. Bu sebeple biz difeolojik uzaylar üzerinde anlamlı olan araçları kullanabilmek adına stratifiye uzayları difeolojik uzaylar olarak görüp revize edeceğiz. Sonuç olarak daha önce tanımlanmış stratifiye uzaylar üzerindeki diferensiyal formlar ile difeolojik uzaylar üzerindeki diferensiyal formları karşılaştıracağız.

In this thesis, we studied the differential forms on stratified spaces by diffeological methods. A stratified space is a topological space that can be decomposed into pieces called strata which are required to fit together in a certain way. These spaces are not a manifold, and since there are no geometric definitions of concepts such as tangent bundles in singular spaces so differantial forms on these spaces are meaningless. However, in cases where the strata are manifold, it is possible to define the differential forms of these spaces on the regular parts by putting tube systems and appropriate retraction on these strata. In their study, Goresky-MacPherson described differential forms on stratified spaces by this method. Some of the tools we use in classical differential geometry can be meaningless and difficult in some cases due to the reasons mentioned above. For this reason, we will revise stratified spaces as diffeological spaces in order to use the tools that are meaningful on diffeological spaces. As a result, we will compare the differential forms on previously defined stratified spaces and the differential forms on diffeological spaces.